и, що коливання системи відбуваються у вертикальній площині, визначити : власні частоти коливань, коефіцієнти розподілу, нормальні (головні) координати. Знайти умова, при якому координати ? і Z є головними. Дати геометричну інтерпретацію головних координат. Відстань від центру маси стрижня до точок закріплення пружин l1 і l2. Масою пружин і опором знехтувати.
1.2 Знаходження власних коливань
Для такої системи кінетична і потенціальна енергія будуть у такому вигляді:
В
або
Рівняння руху системи найпростіше скласти за допомогою рівняння Лагранжа, які для кожної координати записуються таким чином:
В
Де - узагальнена сила координати x, вона в нашому випадку дорівнює:
В
Тоді отримаємо рівняння нашої системи:
В
Припускаємо, що існує приватне рішення системи рівнянь (1):
В
Підставляємо його в (1) і отримуємо рівняння для визначення A, B, ? :
В В
Системи двох однорідних рівнянь щодо A і B має рішення, якщо:
В
(2) - це і є рівняння для визначення власних частот :
Після розкриття визначника (2) одержимо рівняння:
В
Роблячи заміну вирішуємо рівняння:
В
Переходимо назад до
В
Отримали власні частоти коливань і . Ми маємо чотири рішення і і . Нашому рішенням задовольняють тільки позитивні коріння і , тому що якщо корінь рішення рівняння буде негативним, то так як система не містить тертя (вона консервативна), тобто U + T = const, одержимо що T і U Г 0.
1.3 Знаходження головних (нормальних) координат
В
В
Де - це визначник, получающийся з визначника частот ( 2), викреслюванням i-го рядка і j-ого стовпця . Ks - це константа невизначеності.
В В В В
Підставляючи , отримаємо:
В
Вводи...
