нуль. Для цих значень k: Г (- + k +1) =, що випливає з формули:
В
Таким чином, перші n членів в розкладанні (15) звернуться в нуль і ми отримаємо
В
або, поклавши k = n + l, отримаємо
В
тобто br/>
Звідси випливає, що при цілому n функції Jn (x) і Jn (x) лінійно залежні.
Для того щоб знайти спільне рішення рівняння (1), коли одно цілому числу n, необхідно знайти другу, лінійно-незалежне від JV (x), приватне рішення. Для цього введемо нову функцію Yv (х), поклавши
В
Очевидно, що ця функція також є рішенням рівняння (1), тому що вона являє собою лінійну комбінацію приватних рішень JV (x) і
J-V (x) цього рівняння. Потім неважко переконатися, на підставі співвідношення (16), що при, рівному цілому числу n, права частина рівності (17) приймає невизначений вигляд. Якщо розкрити цю невизначеність за правилом Лопіталя, то в результаті ряду викладок (які через їхню складність тут не відтворюються) отримаємо наступне представлення функції Yn (x) при цілому позитивному n:
В В В
В окремому випадку, при n = 0, функція Yo (х) представляється таким чином:
В
Введена тут функція Yv (х) називається функцією Бесселя 2-го роду - го порядку або функцією Вебера.
Функція Вебера Yv (х) є рішенням рівняння Бесселя також і в тому випадку, коли - ціле число.
Функції JV (x) і Yv (х), очевидно, лінійно незалежні, отже, ці функції при всякому - дробовому або цілому - утворюють фундаментальну систему рішень. Звідси випливає, що загальне рішення рівняння (1) може бути представлено у вигляді
В
де С1 і С2 - довільні постійні.
3. Окремі випадки рівняння Бесселя
У математичній фізиці найбільш часто зустрічаються функції Бесселя
де п-ціле число.
Перші дві з цих функцій представляються наступними рядами:
В В
Для них є докладні таблиці. Графіки функцій J0 (x), J1 (x) і У0 (x) наведено на рис. 1 і 2. br/>В
Рис. 1Ріс. 2
З формули (23) видно, що обчислення функцій J2 (x), J3 (x) і т.д. зводиться до обчислення відповідних значенні функцій J0 (x) і J1 (x).
Звернемося тепер до функції Jn +1/2 (x), де n - ціле число.
Знайдемо насамперед значення функцій J1/2 (x) і J-1/2 (x), для чого звернемося до розкладання (14); з нього видно, що
В
Але з формули (11) безпосередньо випливає, що
В В
Таким чином,
В
Остання сума являє собою розкладання sin x в степеневий ряд, внаслідок чого
В
Аналогічно, з розкладання (15) випливає, що
В
Якщо тепер скористатися формулою (23), то неважко бачити, що
В В
Взагалі, функція Бесселя J n +1/2 (x) при цілому n виражає...
