слідження - подвійні і потрійні інтеграли
Проблема дослідження - застосування кратних інтегралів
Методи дослідження - вивчення літератури, порівняння, узагальнення, аналогія, аналіз і класифікація інформації
Мета дослідження - вивчити теорію кратних інтегралів і розробити варіанти контрольної роботи за темою В«Додатки кратних інтегралівВ»
Завдання дослідження:
розкрити поняття В«подвійний інтегралВ», В«потрійний інтегралВ».
розглянути деякі програми кратних інтегралів
показати приклади обчислення кратних інтегралів
розглянути застосування кратних інтегралів для обчислення обсягу, маси, площі, моментів інерції, статистичних моментів і координат центру мас тіла на конкретних прикладах.
самостійно розробити варіанти контрольної роботи за темою В«Додатки кратних інтегралівВ».
1. Подвійні інтеграли
Розглянемо в площині замкнуту область, обмежену лінією.
Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на n частин, а відповідні найбільші відстані між точками у кожній з цих частин позначимо. Виберемо в кожній частині точку. Нехай в області D задана функція. Позначимо через значення цієї функції у вибраних точках і складемо суму творів виду ::, звану інтегральною сумою для функції в області. p> Якщо існує один і той же межа інтегральних сум при та, що не залежить ні від способу розбиття області на частини, ні від вибору точок в них, то він називається подвійним інтегралом від функції по області і позначається:
В
Обчислення подвійного інтеграла по області, обмеженої лініями:, де і безперервному на, зводиться до послідовного обчислення двох визначених інтегралів, або так званого дворазового інтеграла:
В
Приклад обчислення подвійного інтеграла
Обчислити подвійний інтеграл:; D:
Рішення:
Задамо область D нерівностями:
D:
Перейдемо від подвійного інтеграла до повторного:
=
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
) =
В
=
) ==
=
Відповідь: 4
2. Потрійні інтеграли
Поняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом.
Нехай у просторі задана деяка область, обмежена замкнутою поверхнею. Задамо в цій замкненій області безперервну функцію. Потім розіб'ємо область на довільні частини, вважаючи обсяг кожної частини рівним, і складемо інтегральну суму виду:
Межа при інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття області та вибору точок в кожній підобласті цій області, називається потрійним інтегралом від функції по області:
В
Потрійний інтеграл від функції по області дорівнює триразовому інтегра...
