лу по тій же області:
В
Приклад обчислення потрійного інтеграла
Обчислити потрійний інтеграл:;
V:
Рішення:
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
=
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В
)
=
=
В
)
=
=
)
Відповідь: 12,5
3. Додатки подвійних інтегралів
) Площа плоскої фігури:
В
) Обсяг тіла, обмеженого поверхнями:
В
) Площа частини криволінійної поверхні:
В
) Момент інерції відносно початку координат плоскої фігури:
В
) Маса плоскої фігури змінної поверхневої щільності
В В
Розглянемо програми подвійних інтегралів на конкретних завданнях.
Приклад 1
Знайти площу фігури, обмеженою даними лініями:.
Рішення:
Задамо область D нерівностями:
D:
В В
Обчислимо подвійний інтеграл
В В
Відповідь: S = 36
Приклад 2
Знайти об'єм тіла, обмеженого даними поверхнями:
Рішення:
Задамо область D нерівностями:
D:
Перейдемо від подвійного інтеграла до повторного.
=.
Проведемо поетапне обчислення інтеграла.
)
2)
В В
Відповідь:
Приклад 3
Знайти площу частини конуса, укладеної всередині циліндра
Рішення:
Задамо область D нерівностями в полярних координатах:
В
D:
В
Знайдемо приватні похідні:
В В
Перейдемо до полярних координат і замінимо подвійний інтеграл повторним:
В В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
2)
Відповідь:
Приклад 4
Знайти момент інерції фігури, заданої нерівностями:
відносно початку координат, якщо його щільність постійна і дорівнює 3.
Рішення:
Задамо область D нерівностями:
,
Перейдемо від подвійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В
2)
Відповідь:
Приклад 5
Знайти масу плоскої фігури, заданої нерівностями: із змінною поверхневою щільністю:.
Рішення:
Перейдемо від подвійного інтеграла до повторного:
.
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В
)
В В
Відповідь:
4. Додатки потрійних інтегралів
кратний інтеграл інерція статистичний
1) Обсяг тіла:
В
) Маса тіла щільності:
В
) Моменти інерції тіла відносно координатних осей і початку координат:
В В В В
) Статистичні моменти тіла відносно координатних площин,,:
В В В
5) Координати центру м...
