, а суму відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів - через . Згідно з визначенням еліпса, .
В
Рис. 1
Виберемо декартову прямокутну систему координат так, як показано на рис. 1, тобто вісь абсцис проведемо через фокуси в напрямку від до , а початок координат помісти посередині між фокусами. У цій системі координат фокуси і мають відповідно координати < span align = "justify">, і , .
Щоб вивести рівняння еліпса, розглянемо довільну його точку і, виходячи з визначення еліпса, знайдемо залежність між поточними координатами . За визначенням, для будь-якої точки еліпса справедливо рівність
. (1)
Так як
; ,
то, підставивши знайдені значення і в рівність, отримаємо
. (2)
Це рівняння є рівнянням еліпса, так як йому задовольняють координати будь-якої точки еліпса і не задовольняють координати точок, що не належать еліпсу.
Після перетворень отримаємо
. (3)
Так як , то . Введемо позначення . Число дійсне, і . Має місце співвідношення
Рівняння можна записати у вигляді
. (4)
Рівняння називається канонічним рівнянням еліпса, а числа і , що входять в рівняння, - півосями еліпса: - велика піввісь, - малої.
Канонічне рівняння еліпса є алгебраїчним рівнянням другого ступеня щодо і , отже, еліпс - крива другого порядку.
Гіперболою називається безліч точок площини, що володіють наступною властивістю: модуль різниці відстаней від будь-якої точки цієї множини до двох даних точок площини є величина постійна, менша відстані між даними точками і відмінна в...
