гумент); у = у (х) - невідома функція аргументу х; F (х, у,) - задана функція змінніх х, у, =. Рівняння (*) Не розвязання відносно похідної. p> Рівняння увазі
= f (x, y), (**)
де f (x, y) - задана функція двох, змінніх назівається діференціальнім рівнянням Першого порядку, розвязання відносно похідної.
Часто Використовують симетрично форму запису діференціального рівняння Першого порядку:
(x, y) dx + Q (x, y) dy = 0,
де P (x, y), Q (x, y) - задані Функції змінніх х і у.
розвязка діференціального рівняння (*) або (**) на інтервалі (а, в) назівається неперервно діференційована функція у =, яка перетворює це рівняння в тотожність, тоб
(x, (x),) = 0 x є (а, в).
Співвідношення Ф (х, у) = 0 назівається інтегралом рівняння (*) або (**), ЯКЩО воно неявно задає розвязок у = (х) цього рівняння.
заразили детально розглянемо Одне Із діференціальніх рівнянь - рівняння Ріккаті. p align="justify"> Диференціальний рівняння ріккаті
В§ 1. Загальні Властивості рівняння Ріккаті
Розглянемо рівняння:
= f (x, y),
в якому права частина є квадратичною функція від (шуканої Функції) у, тоб
. (1)
Таке рівняння назівається рівнянням Ріккаті. Будемо вважаті, что Функції Р (х), Q (x), R (x) візначені и неперервні на інтервалі (а, в), (а, в є (+?, -?)), Причому Р (х)? 0 и R (x)? 0 на цьом інтервалі (у протилежних випадка рівняння Ріккаті віроджується в Лінійне рівняння або в рівняння Бернуллі). p> Отже, рівняння Ріккаті (1) має єдиний розвязок
у = у (х), (2)
что задовольняє початкових умову:
= y при х = х, (3)
де х захи інтервалу (а, в), а за у можна брати будь-яке число, тоб через шкірні точку (х, у) прямої
а
проходити одна и Тільки одна інтегральна крива рівняння Ріккаті.
Дійсно, всегда можна побудуваті прямокутник
В
з центром у точці (х, у) який Повністю лежить на прямій (4). Рівняння (1) має єдиний розвязок (2), что задовольняє початкових умову (3). Цею розвязок визначеня, взагалі Кажучи позбав в Деяк околі точки х = х. Існування цього розвязка на всьому інтервалі неперервності Коефіцієнтів Р (х), Q (x) i R (x) НЕ гарантується. p> Приклад. Розглянемо рівняння
.
Тут права частина Визначи и неперервно на всій площіні (х, у). Альо Із формулювання загально розв язку
у = 1 -
Бачимо, что ніякий Із розвязків, Які входять в Цю формулу при С?, не якщо Визначи при всех х. p> Із сказаного Вище віпліває, что рівняння Ріккаті НЕ має особливая розвязків. Будь-який его розвязок є Частинами розвязка. p> Перш чем перейти до питання про інтегрування рівняння Ріккаті в квадратурі, відзначімо Дві его Загальні Властивост...
