івняння (2) назівається послідовність yk (k=0, 1, 2,.), Яка при підстановці ее в різніцевіх рівняннях (2) перетворює его в тотожність.
Приклад. Покажемо, что послідовність є розв язком різніцевого рівняння
Підставляючі Значення yk=2k, в різніцевіх рівнянях, одержимо тотожність
k +1 - 2 2k=0 (k=0, 1, 2, ...).
.2 Однорідні різніцеві рівняння
Наведемо деякі Властивості розв язків однорідного різніцевого рівняння
(6)
. Если різніцеве рівняння (6) має частинні розв язки
=yk, 1 (k=0, 1, 2, ...),
то воно має такоже розв язок yk=Ck, 1, C=const
. Если різніцеве рівняння (6) має два розв язки yk=yk, 1, yk=yk, 2, то воно має такоже розв язок yk=yk, 1 + yk, 2 Звідсі маємо, что різніцеве рівняння має розв язок:
Означення. Розв язок різніцевого рівняння (6) при
(7)
назівають загально, ЯКЩО за рахунок Вибори довільніх сталлю С1, С2,., Сn можна задовольніті довільні Початкові умови (6).
Если yk (7) загальне решение різніцевого рівняння (7), то система лінійніх алгебраїчніх рівнянь
всегда має розв язок відносно сталлю С1, С2, ..., Сn.
Означення. Визначник
назівається Визначник Вронська. Замінюючі k на k +1 у Визначник (8), одержимо рівняння для Визначник Вронська
Л. Ейлер запропонував загальний метод розв язання різніцевіх рівнянь (6). Розглянемо спочатку різніцеве рівняння Першого порядку
З рівняння при k=0, 1, 2, ... одержимо рівняння
Віходячі з цього, різніцеве рівняння (6) має Частинами розв язок.
Розв язок yk=ak y0 (k=0,1,2, ...) обмеже при | a |? 1, прямує до нуля при ЯКЩО | a | < 1 необмежено зростає по модулю при | a |> 1.
Л. Ейлер запропонував шукати розв язок різніцевого рівняння (6) у вігляді Число м назівається мультіплікатором розв язків різніцевого рівняння (6).
Оскількі справедлива Рівність, то для визначення мультіплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння або
Це рівняння назівається мультіплікаторнім або характеристичностью.
Если рівняння L (м)=0 має n різніх коренів м1, м2, ..., Мn, то загальний розв язок різніцевого рівняння (6) має вигляд
частинні розв язки будут лінійно незалежні, так як Визначник Вронська є Визначник Вандермонда и відрізняється від нуля при Мk? мi, (k, i=1,2, ..., n; k? i)
Приклад. Знайдемо загальний розв язок різніцевого рівняння
Мультіплікаторне рівняння м2-5м +6=0 має розв язок у1=2, у2=3. Тому різніцеве рівняння має загальний розв язок
(k=0, 1, 2, ...).
Приклад. Знайдемо Частинами розв язок різніцевого рівняння
