я - математичний аналіз.
Об'єкт дослідження - теорія кратних інтегралів.
Предмет дослідження - потрійні інтеграли
Проблема дослідження - застосування кратних інтегралів
Методи дослідження - вивчення літератури, порівняння, узагальнення, аналогія, аналіз і класифікація інформації
Завдання дослідження:
§ розкрити поняття «потрійний інтеграл».
§ розглянути деякі програми кратних інтегралів
§ показати приклади обчислення кратних інтегралів
§ розглянути застосування потрійних інтегралів для обчислення обсягу, маси, площі, моментів інерції, статистичних моментів і координат центру мас тіла на конкретних прикладах.
1. Чисельне інтегрування
1.1 Кратні інтеграли: визначення, властивості.
чисельну потрійний інтеграл формула
Нехай в області D задана безперервна скалярна функція n змінних:
n=1 | n=2 | n=3
) Введемо довільне розбиття області D на «осередку»? i без пропусків і накладень; виберемо довільно точку Ai?? i; позначимо:?? i «міру осередку» (? xi - довжина відрізка;? Si - площа? i;? Vi - обсяг? i); d=max {di} - «діаметр розбиття», di - «діаметр осередку» - найбільший лінійний розмір комірки; m, M - найменше та найбільше значення функції в області D.
) Назвемо безліч Pn={? i; Ai; i=1, .., n} розбиттям із зазначеними точками і складемо суму Sn (Pn, f) =.
Визначення 1.
.1 Сума добутків значень функції в зазначених точках на міру осередку розбиття називається «інтегральною сумою» для функції f при розбитті Pn області D.
Сума творів заходи осередку розбиття на найменше (найбільше) значення функції в комірці називається нижньою Ln (верхньої Un) сумою Дарбу:
Визначення 2.
Якщо існує кінцевий межа інтегральних сум при подрібненні разбиений, (який не залежить ні від разбиений ні від вибору зазначених точок) його називають інтегралом від функції f по області D і пишуть
Властивості інтеграла
Аддитивність - інтеграл по об'єднанню областей дорівнює сумі інтегралів по кожній частині області.
Лінійність - інтеграл від лінійної комбінації функцій дорівнює лінійної комбінації інтегралів.
Геометрична ілюстрація
Оцінки інтеграла для неперервної функції f:
Теорема (існування).
Функція багатьох змінних, безперервна в області D, интегрируема в ній.
1.2 Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних координатах
За визначенням:
Нехай область інтегрування D обмежена на проміжку x? [A, b] лінією у=ун (х) знизу і лінією у=уВ (х) зверху. Користуючись «свободою» розбиття і вибору зазначених точок області,
введемо розбиття області вертикальними і горизонтальними лініями прямокутної координатної сітки - прямими y=yj=const, x=xi=const на прямокутні осередки площею і
всередині кожного вертикального «стовпчика» xi
