багатою історією, яка пов'язана з іменами таких вчених, як Піфагор, Евклід, Архімед. Многогранники виділяються незвичайними властивостями, найяскравіше з яких формулюється в теоремі Ейлера про число граней, вершин і ребер опуклого багатогранника. Теорему Ейлера історики математики називають першою теоремою топології - великого розділу сучасної математики.
Алмаз (октаедр) Шеєліт (піраміда) Кришталь (призма) Куховарська сіль (куб) Рисунок 1 Приклади природних багатогранників
Перші згадки про многогранниках відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м. Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.
Історія правильних багатогранників йде в глибоку старовину. Починаючи з 7 століття до нашої ери у Стародавній Греції створюються філософські школи. Велике значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдалося отримувати нові геометричні властивості.
Однією з перших і найвідоміших шкіл була Пифагорейская, названа на честь свого засновника Піфагора. Відмітною знаком піфагорійців була пентаграма, мовою математики-це правильний неопуклий або зірчастий п'ятикутник. Пентаграмме присвоювалося здатність захищати людину від злих духів.
Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цим думку, атоми основних елементів повинні мати форму різних тел:
§ Всесвіт - додекаедр
§ Земля - ??куб
§ Вогонь - тетраедр
§ Вода - ікосаедр
§ Повітря - октаедр
Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами.
Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, вперше перерахував їх в недошедшей до нас роботі. Посилання на цю роботу є в працях математика Паппа.
2. Багатогранні поверхні. Многогранники
Поверхня, утворена частинами попарно пересічних площин, називається багатогранною. На малюнку 2 зображені деякі види багатогранних поверхонь.
Малюнок 2 Приклади багатогранних поверхонь:
а) незамкнута пірамідальна, б) замкнута пірамідальна, в) незамкнута призматична, г) замкнута призматична
Їх елементами є грані, ребра і вершини. Відсіки площин, що утворюють багатогранну поверхню, називаються гранями, лінії перетину суміжних граней - ребрами, точки перетину не менше ніж трьох граней - вершинами.
Якщо кожне ребро багатогранної поверхні належить одночасно двом її гранях, її називають замкнутою (рис. 2 б, г), в іншому випадку - незамкненою (рис. 2 а, в). Багатогранна поверхню називається пірамідальної, якщо всі її ребра перетинаються в одній точці - вершині (рис. 2 а, б). Пірамідальна поверхня має дві необме...
