)], а для значень x, досить близьких до x 0 ліворуч, буде f (x) 0 ) [f (x)> f (x 0 )]
Іншими словами цей факт виражають так: функція f (x) в точці x 0 зростає (спадає). Якщо мається на увазі одностороння похідна, наприклад, праворуч, то зберігає силу лише твердження про значеннях x, що лежать праворуч від x 0.
Доказ . За визначенням похідної,
f '(x0) =.
Якщо f '(x0)> 0, то, знайдеться така околиця (x0-, x0 +) точки x0, у якій (при xx0)
> 0.
Нехай спочатку x0 0; з попереднього нерівності випливає, що f (x)-f (x0)> 0, тобто f (x)> f (x0). Якщо ж x0-
Теорема 1. Теорема Ферма . Нехай функція f (х) визначена в деякому проміжку X і у внутрішній точці з цього проміжку приймає найбільше (найменше) значення. Якщо існує двостороння кінцева похідна f «(c) в цій точці, то необхідно f» (c) =0.
Доказ . Нехай для визначеності f (х) приймає найбільше значення в точці с. Припущення, що f «(c) 0, призводить до протиріччя: або f» (с)> 0, і тоді (по лемі) f (х)> f (с), якщо х> с і досить близько до с, або f '(c) <0, і тоді f (х)> f (c), якщо х < с і досить близько до с. В обох випадках f (с) не може бути найбільшим значенням функції f (х) в проміжку X. Отримане протиріччя і доводить теорему.
Теорема 2. Теорема Ролля . Нехай 1) функція f (х) визначена і неперервна в замкнутому проміжку [а, b], 2) існує кінцева похідна f '(x), принаймні, у відкритому проміжку (а, b); 3) на кінцях проміжку функція приймає рівні значення: f (а)=f (b).
Тоді між а і b знайдеться така точка, з (а з можна взяти будь-яку точку з (а, b).
2) М> m. Ми знаємо, що обидва ці значення функцією досягаються, але, так як f (a)=f (b), то хоч одне з них досягається в деякій точці с між а і b. В такому випадку з теореми Ферма випливає, що похідна f '(c) в цій точці звертається в нуль. Теорема доведена.
Теорема 3. Формула кінцевих збільшень, або теорема Лагранжа про середнє значення : Нехай 1) f (х) визначена і неперервна в замкнутому проміжку [a, b]
2) існує кінцева похідна f '(x), принаймні, у відкритому промі...
