> ) зі знайдених коренів відібрати ті, які задовольняють нерівності f (x)> 0 ( або, те ж саме, нерівності g (x)> 0 ; зазвичай використовують більш просте з цих нерівностей), а решта коріння відкинути, так як вони є для даного рівняння сторонніми.
Отже, логарифмическим називається рівняння, що містить невідому величину під знаком логарифма.
Виділяють такі основні методи вирішення логарифмічних рівнянь:
1. На підставі визначення логарифма.
Так вирішуються рівняння виду.
Наведемо приклад такого рівняння і вирішимо його.
Приклад: Вирішити рівняння.
Рішення: ОДЗ:.
За визначенням логарифма маємо: (за формулою).
Звідси:
Перевірка: - вірно.
- вірно.
Відповідь:
2. Метод потенціювання.
Суть методу полягає в наступному: за допомогою формул рівняння привести до виду . Це рівняння (при , ) рівносильне системі
Приклад: Вирішити рівняння.
Рішення:
ОДЗ:
Перенесемо з правої частини в ліву:, а з лівої в праву:, отримаємо:
Застосуємо властивості логарифмів:
; .
Перевірка:
), - корінь.
2) - не існує.
Відповідь:.
3. Метод підстановки.
Звичайну заміну (підстановку) виробляють після деяких перетворень
Приклад: Вирішити рівняння.
Рішення:
ОДЗ:
Використовуючи формули, запишемо рівняння так:
, то є.
Замінюємо. Тоді, тобто.
Звідси,.
Тому й.
Звідси і
Зробивши перевірку можна переконатися, що обидва кореня - коріння даного рівняння.
Відповідь:,.
4. Метод приведення до одній підставі.
Зазвичай умову прикладу підказує, до яким основи слід перейти. Використовуються формули:
.
Як правило, метод приведення до одній підставі «працює» з методом підстановки.
Приклад:
Вирішити рівняння.
Рішення:
ОДЗ:
, перейдемо до основи 2:
, тобто
.
Позначимо. Тоді, тобто
,
.
Значить,.
Відповідь:.
5. Метод логарифмування.
Зазвичай логаріфміруют рівняння виду. Пояснимо цей метод на прикладі.
Приклад: Вирішити рівняння.
Рішення:
Область допустимих значень змінної x дана в умові завдання.
логарифмуючи по підставі 10:
, тобто
.
Позначимо. Тоді, тобто
і
Одержуємо: і і.
Відповідь:,.
6. Графічний метод.
Приклад: Вирішити графічно рівняння.
Рішення:
ОДЗ:
В одній і тій же системі координат будуємо графіки функцій і
<...
