ри будь-яких х).
І як завершальний акорд логічно запропонувати наступне нерівність, в якому всі акценти необхідно врахувати.
Завдання 2.
Припустимо, в акваріумі живуть восьминоги і морські зірки. У восьминогів по 8 ніг, а у морських зірок - по 5. Всього кінцівок налічується 39. Скільки в акваріумі тварин?
Рішення.
Нехай х - кількість морських зірок, у - кількість восьминогів. Тоді у всіх восьминогів по 8у ніг, а у всіх зірок 5х ніг. Складемо рівняння: 5х + 8у=39.
Зауважимо, що кількість тварин не може виражатися нецілим чи негативним числами. Отже, якщо х - ціле невід'ємне число, то і у=(39 - 5х) / 8 має бути цілим і ненегативним, а, значить, потрібно, щоб вираз 39 - 5х без залишку ділилося на 8. Простий перебір варіантів показує, що це можливо тільки при х=3, тоді у=3.
Відповідь: (3, 3)
Завдання 3.
Скільки можна купити на 100 монет птахів, курей і курчат, якщо всього треба купити 100 птахів, причому півень коштує 5 монет, курка - 4, а 4 курчати - одну монету?
Рішення.
Нехай х - шукане число птахів, у - курей, а 4z - курчат. Складемо систему
? х + у + 4z=100
?
? 5x + 4y + z=100,
яку треба вирішити в цілих невід'ємних числах. Помноживши перше рівняння системи на 4, а друге - на (- 1) і, склавши результати, прийдемо до рівняння-x + 15z=300 з цілочисельними рішеннями x=- 300 + 15t, z=t. Підставляючи ці значення в перше рівняння, отримаємо y=400 - 19t. Значить, цілочисельні рішення системи мають вигляд x=- 300 + 15t,=400 - 19t, z=t. З умови задачі випливає, що
?- 300 + 15t? 0
? 400 - 19t? 0
? t? 0, звідки 20? t? 21 січня / 19, тобто t=21 або t=20.
Відповідь. На 100 монет можна купити 20 курей і 80 курчат, або 15 птахів, 1 курку і 84 курчати. ??
Завдання 4.
Селянка несла на базар кошик яєць. Необережний вершник, обганяючи жінку, зачепив кошик, і всі яйця розбилися. Бажаючи відшкодувати збиток, він запитав у селянки, скільки яєць було в кошику. Вона відповіла, що число яєць не знає, але коли вона розкладала їх по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу одне яйце залишалося зайвим, а коли вона розклала по 7, зайвих яєць не залишилося. Скільки яєць несла селянка на базар?
Рішення.
Нехай х - число яєць. Так як х - 1 ділиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то воно ділиться на їх НОК, рівне 60. Значить, х має вигляд 60у + 1. Тому для відповіді на питання завдання треба вирішити в натуральних числах рівняння 60у + 1=7z. За допомогою алгоритму Евкліда знаходимо у0=- 2, z0=- 17, звідки все цілочисельні рішення рівняння мають вигляд у=- 2 + 7t, z=- 17 + 60t, де t - будь-яке ціле число. Найменше позитивне рішення отримуємо при t=1. У цьому випадку у=5, z=43. Отже, селянка несла на базар 301 яйце.
Відповідь. Селянка несла на базар 301 яйце. [2, с. 75 - 78]
Задача 5
Розглянемо таке тригонометричне вираз:
...
