римали, в кінцевому підсумку,
рішення, протилежні за знаком рішенням (32''), (31), (29'' ') і (24'), тобто (31 '), (29''),
, (24), де - взаємно прості цілі непарні числа.
Але цей випадок нас не цікавить , тому що з не є цілим числом.
********
Висновок
Отже, після аналізу отриманих рішень у Випадках 1, ..., 8, рівняння (11), де c і < i> b - взаємно прості цілі непарні числа, має рішення в наступних цілих числах:
а); b ;;;
б);;; .
********
Таким чином, саме дослідження рішень рівняння (11) у випадках 1, ..., 8 при доказі Твердження 2 і його результат , повністю збігаються з дослідженням рішень рівняння (15) (в аналогічних випадках при доказі Твердження 1) і з його результатом . p> Дійсно, ось, наприклад, результати досліджень рівняння (15) у перших 4-х випадках Умови 1 (Твердження 1, Частина 2 ):
1 . (16) 2 . (16 ') (39')
(17 ') (37) (17) (37 ')
(18) (18 ') (38 ')
(19) (33) (19 ') (33')
3 . (16) (39'') 4 . (16 ') (39''')
(17 ') (37) (17) (37 ')
(18) (38'') (18 ') (38''')
(19 ') (33') (19) (33).
А ось результати досліджень рівняння (11) у перших 4-х випадках Умови 1 (Твердження 2, Частина 2 ):
1 . (12) 2 . (12 ') (30 ')
(13 ') (28) (13) (28 ')
(14) (29) (14 ') (29 ')
(15) (24) (15 ') (24')
3. (12) (30'') 4 . (12 ') (30''')
(13 ') (28) (13) (28 ')
(14) (29'') (14 ') (29''')
(15 ') (24') (15) (24).
Спостерігається повне збіг результатів (тут мається на увазі, що рішення рівняння (15) c і b у верхніх 4-х випадках відповідають рішенням рівняння (11)
з 2 і b 2 в нижніх 4-х випадках). Те ж саме збіг результатів спостерігається і в наступних за ними 4-х випадках. br/>
********
Тому неважко зрозуміти, що інші результати досліджень випадків з 9-го по 28-й у даному доказі Твердження 2 (подібні вишерассмотренним випадкам 9, ..., 28 при доказі Твердження 1) теж співпадуть і ніяких нових рішень нам не дадуть, окрім як:
або, або, або c і b не є цілими числами , або c і b - парні числа , чого не повинно бути.
********
З цього набору рішень рівняння (11) нас, природно, цікавлять тільки ті , які можуть бути рішеннями рівняння (1) (1), де - парне натуральне число, тобто або, або .
*******
Але в теорії чисел добре відомо (Постніков М.М. Введення в теорію алгебраїчних чисел. - М. - Наука. - 1982. - С. 13) , що для парних ступенів рівняння ( де, q = 2 q ) - показники парні при в‰ 0 і q в‰ 0 - Натуральних , в рівнянні цілочисельні його рішення (якщо вони існують) повинні задовольняти нерівності:
| |> 2, | |> 2, | c |> 2 => | a |> 1, | b |> 1, | c |> 1,
тобто в рівнянні a 2 < u> + b 4 = c 4 b і c => в рівнянні (1) при - парному числі b і c ,
тобто з лучан (або b = В± 1, або c = В± 1 ) ВІДСУТНІ.
********
Висновок: 2-а частина В«Твердження 2В» доведена.
*******
У результаті дослідження рівняння (1) ми маємо:
Висновок:
1 . Рівняння (1), де ≥ 2 - парне не має рішень в попарно ...
