о враховує не тільки геометричні розміри ланок і розподіл кінематичних пар, як при складанні кінематичної моделі, а й розподіл мас ланок і інших елементів маніпулятора, що беруть участь в русі. Можуть бути враховані і інші властивості маніпулятора, наприклад пружні властивості його елементів. У цьому випадку число ступенів свободи системи стає більше числа ступенів рухливості маніпулятора, яке визначають як число незалежних керованих рухів маніпулятора (для маніпуляторів з розімкненою кінематичної ланцюгом воно дорівнює числу приводів).
В аналітичній механіці є різні принципи і методи для складання диференціальних рівнянь руху механічних систем будь-якої складності. Далі будемо використовувати рівняння Лагранжа другого роду [19].
, (4.2)
де L - функція Лагранжа (L=KP); K і P - повні кінетична і потенційна енергія системи; qi - узагальнені координати;- Перша похідна за часом узагальнених координат; Qi - узагальнені сили (сили або моменти, що розвиваються приводами, а також зовнішні сили або моменти, наприклад виникають при взаємодії інструменту і оброблюваної поверхні), створювані в i-м зчленуванні для реалізації заданого руху i-го ланки.
Запишемо рівняння (5.1) у векторно-матричній формі:
(4.3)
де A (q) - матриця інерційних коефіцієнтів, що залежать від узагальнених координат;- Вектор сил і моментів сил інерції, що залежать від узагальнених координат і швидкостей; С (q) - вектор сил і моментів сил тяжкості; Q - вектор узагальнених сил.
Розглянемо ступеня рухливості маніпулятора зі структурною схемою, наведеною на рисунку 5.1 за координатами. Ланки маніпулятора мають маси. Розміри робочого органу вважаються істотно малими в порівнянні з іншими лінійними розмірами маніпулятора. Складемо рівняння руху маніпулятора, вважаючи всі елементи абсолютно твердими тілами. Рука вважається однорідним стрижнем довжиною і масою. Робочий орган являє собою точкову масу.
Кінетична енергія маніпулятора являє собою суму кінетичних енергій окремих частин:
, (4.4)
де - кінетична енергія i-го ланки;- Кінетична енергія робочого органу.
Кінетичні енергії для ланок і робочого органу рівні:
;
;
;
.
Моменти інерції для ланок і робочого органу рівні:
; ; ; ,
де - момент інерції i-го ланки;
- момент інерції робочого органу.
Момент інерції змінюється на різних фазах руху через зміни конфігурації маніпулятора.
Підставимо знайдені вирази для кінетичних енергій і моментів інерції в рівняння (5.3):
Потенційна енергія маніпулятора дорівнює
.
Для рівняння Лагранжа знайдемо похідні:
;
;
;
;
;
;
;
.
Підставимо знайдені похідні в рівняння (4.2), зробимо необхідні перетворення і отримаємо рішення прямої задачі динаміки в векторно-матричної формі (4.3):
Тут - момент, що розвивається приводом в першому зчленуванні, і - сили, що розвиваються приводами в другому і третьому зчленуваннях.
Незважаючи на досить просту кінематичну схему маніпулятора, рівняння динаміки є нелінійними та взаємопов'язаними за координатами і.
Однак рух по ко...
