="justify"> Наводиться рівняння з двома ядрами, що належить класу:
Парне інтегральне рівняння розглянуто в навчальному посібнику
і одностороннє рівняння визначено на позитивній півосі
.
Всі рівняння виду розглянуті і приведені для самостійного вирішення у навчально-методичному комплексі.
Визначення 1.1. Класом називається шукана функція одночасно, яка задовольнить умові Гельдера і належить простору. Щоб вирішити інтегральні рівняння типу згортки в класах функцій показового зростання, потрібно посилатися на методичку, в якій дано основні визначення.
Визначення 1.2. Кажуть, що функція належить класу, якщо.
Визначення 1.3. Кажуть, що функція
належить класу, якщо.
з співвідношень
випливає, що якщо, то також для будь-якого, і якщо, то для.
З Узагальнених функцій Александрова В.А. [2] наводяться наступні визначення, докази і приклади, що відносяться до згортку узагальнених функцій.
1.3 Методи рішення інтегральних рівнянь типу згортки
У навчально-методичному посібнику запропоновані методи рішення рівнянь Вінера-Хопфа, парних рівнянь, рівнянь з двома ядрами, рівнянь з одним ядром, рівнянь плавного переходу і сингулярних інтегральних рівнянь на дійсній осі.
Методикою дослідження є метод Вінера-Хопфа, метод функціонального аналізу, чисельні методи, перетворення Фур'є, перетворення Лапласа та інші.
Науковою новизною в дипломній роботі є наведені узагальнені приклади в другому розділі: Крайові задачі Карлемана для смуги; Задача Карлемана з дробово-раціональним коефіцієнтом, з інтегральним умовою; Інтегральні рівняння типу плавного переходу для двох функцій.
. 4 Цілі і завдання дисципліни
Цілями освоєння дисципліни Рівняння типу згортки є:
· Отримати знання в області крайових задач, що приводяться до них інтегральних рівнянь типу згортки;
· Розвинути здатність застосування загальних методів аналізу, теорій функцій і теорії операторів до конкретних прикладних задач;
· Володіти теоретичними знаннями і мати чітке уявлення про методи дослідження і вирішення крайових задач зі зрушенням та інтегральних рівнянь типу згортки;
· Навчитися застосовувати отримані знання до вирішення конкретних завдань.
У результаті освоєння дисципліни формується наступні компетенції:
У результаті освоєння дисципліни студент:
. Повинен знати: знати основні поняття теорії крайові задачі, сингулярні інтегральні рівняння зі зрушенням і рівняння типу згортки, визначення і властивості, формулювання тверджень, методи їх докази, їх додатків.
. Повинен вміти: вміти вирішувати крайові задачі, сингулярні інтегральні рівняння та рівняння типу згортки.
. Повинен володіти: володіти математичним апаратом, методами вирішення завдань і докази.
2. Узагальнені завдання
. 1 Крайові задачі типу Карлемана для смуги
У другому пункті розібрані узагальнені приклади, які не увійшли до навчально-методичний комплекс і є новими результатами.
Дана крайова задача типу Карлемана.
Завдання по стрибку. Потрібно знайти дві функції
- аналітичність в смузі,
- аналітичність в смузі
по крайовій умові:
(2.1)
Застосуємо до умов (2.1) зворотне перетворення Фур'є
Отримаємо
(2.2)
Визначник системи (2.2)
дорівнює нулю тільки при
(2.3)
Використовуючи формули для перетворення Фур'є-функції (в класі узагальнених функцій)
отримаємо інтегральне представлення для шуканих функцій (аналог формул Сохоцкого).
(2.4)
Завдання Карлемана для двох функцій:
(2.5)
Припускаючи, що коефіцієнти не рівні нулю, покладемо
(2.6)
Завдання факторизації коефіцієнтів крайової задачі (2.6)
...
