(2.7)
Підставляючи (2.7) в (6.6), отримаємо
(2.8)
Позначаючи
(2.9)
приходимо до задачі
(2.10)
де
З (2.10) отримуємо
(2.11)
Звідки
(2.12)
де функції, знаходяться в результаті рішення задачі факторизації (2.7):
При виведенні (2.12) використані наступні формули
(2.13)
Рішення завдання факторизації (2.7) в припущеннях
зводиться до задачі
або позначаючи
приходимо до задачі по стрибку (2.1), а з (2.4) отримуємо
(2.14)
2.2. Задача Карлемана з дробово раціональним коефіцієнтом
Розглянемо задачу
(2.15)
Зворотне перетворення Фур'є приводить до рівняння
,
(2.16)
Рішення однорідного рівняння (2.16)
(2.17)
Приватне рішення неоднорідного
(2.18)
Розглянемо поведінку рішення (2.17) - (2.18) залежно від індексу коефіцієнта завдання Карлемана (2.15)
Рішення однорідного рівняння (2.17):
Поведінка рішення 0 gt; 0 gt; 0 gt; 0Експоненціально зростає при 0 lt; 0 lt; 0 gt; 0Експоненціально зростає при 1 gt; 0 lt; 0 gt; 0Імеем одне лінійно незалежне рішення - 1 lt; 0 gt; 0 gt; 0Експоненціально зростаюче при
Записати формули для вирішення і з використанням функцій
для
факторізовано коефіцієнт завдання Карлемана
Для
.
. 3 Завдання Карлемана з інтегральним умовою
Розглянемо рівняння такого виду
, (2.19)
.
Введемо позначення
(2.20)
Отримуємо задачу Карлемана
,. (2.21)
Вирішуючи завдання Карлемана знаходимо, тобто і
,
а з (2.19) знаходимо
. (2.22)
2.4 Інтегральне рівняння типу плавного переходу для двох функцій
Розглянемо інтегральні рівняння типу згортки
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Для рівняння (2.25)
Або
Де
Отримане рівняння є рівнянням типу плавного переходу.
3. Сингулярні інтегральниє рівняння
Наведені методи розв'язку крайової задачі Рімана виявляються корисними при дослідженні сингулярних інтегральних рівнянь (с.і.у.) на замкнутому контурі
(3.1)
При дослідженні с.і.у. виду (3.1), як правило, виділяють характеристичний оператор
і цілком безперервний оператор
Спочатку досліджуємо разрешимость характеристичного рівняння
(3.2)
Одним з методів вирішення характеристичних рівнянь є його зведення до крайовій задачі Рімана.
Введемо кусочно-аналітичну функцію, задану інтегралом типу Коші, щільністю якого служить шукане рішення характеристичного рівняння
Використовуючи формули Сохоцкого? Премеля, маємо:
(3.3)
Підставляючи в рівняння (3.2) замість і їх значення за формулою (3.3), приходимо до крайовій задачі:
, (3.4)
Де
Так як рішення рівняння (3.2) шукаємо у вигляді інтеграла типу Коші, який на нескінченності дорівнює нулю, то рішення крайової задачі (3.4) шукаємо при дод...
