і відрізняються менше, ніж на?:
;
Доказ:
Оцінимо різницю:
Звідси отримуємо:
Що доводить наше твердження, якщо покласти:
4. Формули хвильового рівняння
Хвильове рівняння у випадку однієї, двох або трьох просторових змінних записується так:
= ,
= (+),
= (+ +).
Рішенням формул для хвильового рівняння у всіх трьох випадках є наступні формули:
1. Формула Даламбера (одномірне простір)
Ф (x, t)=+
2. Формула Пуассона (двовимірне простір)
Ф (x, y, t)=[ ( ) + + ]
3. Формула Кірхгофа (тривимірний простір)
Ф (x, y, z, t)=
[ (
t 2 d ) + 2 d ]
4.1 Формула Пуассона
Розглянемо хвильове рівняння
(1)
І будемо шукати його рішення, що задовольняє умовам
(2)
Будемо припускати, що? 0 (х, у, z) неперервна разом зі своїми похідними до третього порядку, а? 1 (х, у, z) - до другого порядку включно у всьому просторі.
Покажемо спочатку, що інтеграл
(3)
Є рішенням хвильового рівняння (1).
Зауважимо, що координати точок сфери S at можуть бути виражені за формулами:
Запишемо їх у вигляді:
Де кут змінюється від 0 до і кут від 0 до 2 ??. Коли точки (??, ??, ??) описує сферу S at , точка (?,?,? ) описує сферу S 1 радіуса, одиниці, з центром у початку координат.
Наводимо інтеграл (3) до виду
(4)
Звідси легко помітити, що функція u (x, y, z, t) має безперервні похідні до k -го порядку, якщо функція? (??, ??, ??) Неперервна разом зі своїми похідними k -го порядку.
З формули (4) знаходимо
Або, повертаючись до первісної області інтегрування
(5)
Диференціюючи тепер вираз (4) по t, отримаємо
(6)
Обчислимо із застосуванням формули Остроградського і отримаємо
(7)
Де
D -куля радіуса r=at з центром в точці М (x, y, z).
Вважаючи
Будемо мати
Диференціюючи цей вираз по t матимемо
Неважко бачити, що
(8)
Справді, переходячи в інтегралі I до сферичних координат (?,?, ? ?) з центром в точці M (x, y, z), маємо
Диференціюючи по t , отримаємо
Порівнюючи рівності (5), (7) і (8), ми бачимо, що функція u (x, y, z, t) задовольняє хвильовому рівнянню (1).
З формул (4) і (6) безпосередньо випливає, що функція u задовольняє початковим умовам
(9)
Якщо u є рішення хвильового рівняння, то легко бачити, що функція
Буде також рішенням рівняння (1) з початковими даними умовами
(10)
Взявши тепер у разі початкових умов (9) за ? (x, y, z) функцію ? 1 (x, y, z), а в разі початкових умов (10) - функцію ? 0 (x, y , z) і склавши побудовані таким чином рішення, отримаємо рішення рівняння (1), що задовольнить початковим умовам (2).
Таким чином, рішення хвильового рівняння (1), що задовольнить початковим умовам (2), запишемо у вигляді
(11)
Це називається формулою Пуассона .
4.2 Формула Кірхгофа
Формула Кірхгофа - аналітичний вираз для вирішення гоперболіческого рівняння у всьому тривимірному просторі. Методом спуску з нього моно отримати рішення двовимірного (Формула Пуассона) і одновимірного (Формула Даламбера) рівняння.
Розглянемо рівняння
де u=u (x, t) і f=f (x, t) визначені на (x, t) Rn х R +, а - оператор Лапласа.
Це рів...
