ГУ-III:, (4.11)
де h і g - функції задані на Г.
диференційний теплопровідність математичний фізика
5. Рішення рівнянь математичної фізики
Існує два види методів вирішення УМФ:
· аналітичні, коли результат виводиться різними математичними перетвореннями;
· чисельні, коли результат відповідає дійсному із заданою точністю, але який вимагає багато рутинних обчислень і, тому, виконаємо тільки за допомогою обчислювальної техніки (ЕОМ).
Розглянемо приклади розв'язання рівняння коливань струни (3.2) кожним з цих методів.
. 1 Аналітичне рішення
Розглянемо задачу про коливання струни довжини L. Будемо вважати, що на кінцях струни функція u (x, t) звертається в нуль (струна закріплена на кінцях):
. (5.1)
У початковий момент часу задамо початкові умови:
; (5.2)
. (5.3)
Уявімо рішення у вигляді:
. (5.4)
Після підстановки у вихідне рівняння коливань, розділимо на твір X (x) T (t) одержуємо:
. (5.5)
Права частина цього рівняння залежить від t, ліва - від x, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні постійної величини, яку позначимо через?:
. (5.6)
Звідси знаходимо рівняння для X (x):
. (5.7)
Нетривіальні вирішення цього рівняння при однорідних крайових умовах можливі тільки при і мають вигляд:
. (5.8)
Розглянемо рівняння для відшукання T (t):
. (5.9)
Його рішення:
. (5.10)
Отже, кожна функція виду
(5.11)
є рішенням хвильового рівняння.
Щоб задовольнити рішення початковим умовам, складемо ряд:
. (5.12)
Підстановка в початкові умови дає:
. (5.13)
Останні формули являють собою розкладання функцій f (x) і g (x) в ряд Фур'є на відрізку [0, L]. Коефіцієнти розкладань обчислюються за формулами:
. (5.14)
.2 Чисельне рішення
Даний спосіб рішення називається методом кінцевих різниць. Він досить просто реалізуємо за допомогою ЕОМ.
Цей метод заснований на визначенні похідної функції y=y (x):
. (5.15)
Якщо є функція u=u (x, t), то часткова похідна буде наступна:
. (5.16)
Так як? x досить мало, знаки меж можна відкинути. Тоді отримаємо наступні вирази для перших похідних:
, (5.17)
. (5.18)
Для зручності надалі приймемо такі позначення:
, (5.19)
, (5.20)
, (5.21)
? x=h, (5.22)
? t =. (5.23)
Тоді попередні вирази можна записати так:
, (5.24)
. (5.25)
Ці вирази називають правими різницями. Їх можна записати і по-іншому:
, (5.26)
і ліві різниці:
. (5.27)
Підсумувавши обидва вирази отримаємо наступне:
, (5.28)
, (5.29)
з яких випливає апроксимація перших похідних у вигляді:
, (5.30)
. (5.31)
Аналогічно можна отримати і апроксимації похідних другого порядку:
, (5.32)
. (5.33)
Нехай для рівняння коливань струни:
, (5.34)
додаткові умови задані у вигляді: граничні умови
(ГУ): u=(t), (5.35)
u=(t), (5.36)
початкові умови
(НУ):=(x), (5.37)
=(x), (5.38)
де і - положення кінців (кріплень) струни в часі, а й - початковий стан і швидкість струни, звідки ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою:
. (5.39)
У обчисленнях використовують дискретизацію струни: довжину L поділяють на однакові інтервали (кроки), довжина яких h (рисунок 5.1).
Малюнок 5.1. Дискретизація розрахункової області
Значення функції інших x і t можна обчислити з рівняння коливань струни:
, (5.40)
, (5.41)
. (5.42)
В результаті отримуємо звичайно - різницевий аналог рівняння (4.3)
, (5.43)
звідки для розрахунку отримуємо явну різницеву схему:
. (5.44)
Таким чином, ми отримали схему, за якою можна отримати значення функції для будь-яких x і t, використовуючи значення функції при попередніх x і t. Схематично її шаблон представлений на малюнку 5.2:
