ного інтеграла.
Теорема (про неєдиним інтегруючого множника). Якщо є інтегруючий множник рівняння (2.1), а відповідний йому інтеграл, то
, (2.20)
де - будь-яка безперервна функція теж є інтегруючим множником рівняння (2.1). Дійсно, множачи ліву частину рівняння (2.1) на функцію (2.20) отримуємо:
. (2.21)
Ліва частина рівняння стала повним диференціалом функції, отже, функція, обумовлена ??формулою (2.20), є інтегруючий множник рівняння (2.1). Так як функція довільна, то ми маємо незліченна безліч інтегруючих множників.
Виникає питання: чи містяться всі інтегруючі множники у формулі (2.20)?
Зауважимо, що оскільки кожному інтегралу рівняння (2.1) відповідає деякий інтегруючий множник і назад - кожному інтегруючий множник, за самим визначенням, відповідає деякий інтеграл рівняння (2.1), то природно очікувати, що залежність між інтегруючими множниками є наслідок залежності між інтегралами рівняння (2.1).
Теорема (про загальний вигляд інтегруючого множника і її наслідок). Два будь-яких інтегруючих множника і рівняння (2.1):, пов'язані співвідношенням (2.20):
.
Нехай і - інтеграли, відповідні інтегруючий множник і, тобто маємо рівності:
(2.22)
Деля друге з цих рівностей на перше, отримуємо:
. (2.23)
Так як,, причому Ф - безперервно диференціюється функція, то
,
звідки ясно, що і пов'язані співвідношенням (2.20). Тепер ми можемо стверджувати, що всі інтегруючі множники рівняння (2.1) містяться у формулі (2.20).
Зауважимо, що в цій формулі ми можемо замінити інтеграл будь-яким інтегралом, бо будь-який інтеграл рівняння є функцією від, а функцію все одно довільна, так що буде довільною функцією від.
Слідство. Якщо і - дві істотно різних інтегруючих множника рівняння (2.1), то рівність
(2.24)
є загальним інтегралом рівняння (2.1).
Справді, згідно з формулою (2.20), ми маємо:
. (2.25)
Рівність є загальний інтеграл рівняння (2.1), отже, і (2.24) є загальний інтеграл цього рівняння.
Зокрема, якщо рівняння (2.1) є рівняння в повних диференціалах і відомий інтегруючий множник, відмінний від постійної, тобто загальний інтеграл цього рівняння, так як за можна взяти 1. Наприклад, якщо рівняння (2.1):
однорідне і в повних диференціалах, то його загальний інтеграл дається рівністю
, (2.26)
якщо тільки ліва частина цієї рівності не звертався тотожне в постійну величину.
Приклад 2. Дано рівняння
. (2.27)
,, тому - загальний інтеграл.
Приклад 3.
. (2.28)
Це рівняння однорідне і в повних диференціалах. Тому є загальний інтеграл.
.2 Один загальний спосіб знаходження інтегруючого множника
Припустимо, що ліву частину рівняння
(2.29)
можна розбити на дві групи:
, (2.30)
причому так, щоб для кожної групи можна було легко знайти інтегруючий множник. Нехай і - ці множники, а і - відповідні їм інтеграли. Тоді, згідно (2.20) з п.2.1, все інтегруючі множники першої групи міститися у формулі
, (2.31)
а всі інтегруючі множники другої групи - у формулі
. (2.32)
Якщо вдасться вибрати довільні функції і так, щоб
(2.33)
(причому одну з функцій і можна вважати рівною одиниці), тоді буде інтегруючим множником всього рівняння (2.29). Зауважимо, що групи, на які ми розбиваємо ліву частину рівняння (2.29), не обов'язково повинні бути повними, тобто містити й, і.
Приклад 1. Розглянемо рівняння
. (2.34)
Розіб'ємо ліву частину на дві групи:
. (2.35)
Знаходимо для кожної групи інтегруючі множники і відповідні їм інтеграли:
,; ,. (2.36)
Умова (2.33) приймає вигляд
. (2.37)
Візьмемо,, тоді. Отже,. Множачи дане рівняння на знайдений інтегруючий множник і використовуючи формулу (1.26) з п.1.3, вважаючи в ній, знайдемо загальний інтеграл:
,. (2.38)
Приклад 2. Дано рівняння
. (2.39)
Розіб'ємо ліву частину на дві групи:
. (2.40)
Для першої групи, що складається з одного доданка, очевидно, інтегруючий множник дорівнює 1, бо є повний диференціал від, загальним рішенням рівняння є або, так що ми маємо,. Для другої групи легко знайти інтегруючий множник, так як відповідне її рівняння є рівняння з розділяють змінними. Ми маємо тут,. Складемо співвідношення (2.33). Маємо:
. (2.41)
...
