Н Колмогоров та ін. Рівність зі змінною називається рівнянням. Значення змінної при якому рівність із змінною звертається в правильне числове рівність, називається коренем рівняння.
Часто, особливо на початку систематичного курсу алгебри, поняття рівняння вводиться по засобом виділення його залгебраїчного методу вирішення завдань. Наприклад, у підручнику Ш.А.Алімова та ін. Поняття рівняння вводитися на матеріалі текстовій завдання. Перехід до поняття рівняння здійснюється на основі аналізу деяких формальних особливостей записи, що виражають зміст даного завдання в алгебраїчній формі: «Рівність, що містить невідоме число, позначене буквою, називається рівнянням». Вказуваний спосіб введення поняття рівняння відповідає ще одному компоненту поняття рівняння - прикладному.
Ще один підхід до поняття рівняння виходить при складання області визначення рівняння і безлічі його коренів. Наприклад, у підручнику Д.К.Фадеева «Літерне рівність, яке не обов'язково перетворюється на правильне числове рівність при допустимих наборів букв, називається рівняння».
Можна зустріти і третій варіант визначення, роль якого проявляється при вивчення графічного методу рішення рівнянь: «Рівняння - це рівність двох функцій».
Серед усіх досліджуваних у курсі математики типів рівнянь В.І. Мішин виділяє порівняно обмеження кількість основних типів. до їх числа відноситься: лінійне рівняння з одним невідомим, систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими, квадратні рівняння, найпростіші ірраціональні і трансцендентні.
Ю.М.Колягін та ін. класифікують за видом функцій, що представляють праву і ліву частини рівнянь:
Рівняння називається:
алгебраїчним, якщо і - алгебраїчні функції;
трансцендентним, якщо хоча одним з функцій і трансцендентна; ??
раціональним алгебраїчним (або просто раціональним), якщо алгебраїчні функції та раціональні;
ірраціональним алгебраїчним (або просто ірраціональним), якщо хоча б одна з функцій алгебри і ірраціональна;
цілим раціональним, якщо функція і цілі раціональні;
дробовим раціональним, якщо хоча б одна з раціональних функцій і дробова раціональна.
Рівняння, де - многочлен стандартного вигляду, називається лінійним (першого ступеня), квадратним (у другій ступеня), кубічним (третього ступеня) і взагалі - ой ступеня, якщо многочлен, має відповідно першу, другу, третю і взагалі - ую ступінь.
У школі вивчаються кілька типів рівнянь. До їх числа відносяться: лінійні рівняння з однією не відомої, квадратні рівняння, ірраціональні і трансцендентні рівняння, раціональні рівняння. Ці типи рівнянь вивчаються з великою ретельністю, для них вказується і доводитися до автоматизму виконання алгоритму рішення, вказується форма, в якому повинен записуватися відповідь.
Види рівнянь і методи вирішення:
) Лінійне рівняння
Рівнянням з однією змінною, називається рівність, що містить тільки одну змінну.
Коренем (або рішенням) рівняння називається таке значення змінної, при якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність.
Знайти всі корені рівняння або довести, що їх немає - це означає вирішити рівняння.
Приклад 1: Вирішити рівняння.
Рішення:
;
;
;
;
;
Відповідь:
) Квадратне рівняння
Квадратне рівняння - це рівняння виду, де коефіцієнти a, b і c - будь дійсні числа, причому а? 0.
Корінням квадратного рівняння називають такі значення змінної, при яких квадратне рівняння звертається в правильне числове рівність.
Вирішити квадратне рівняння - означає знайти всі його корені або встановити, що коренів немає.
Приклад 2: Розв'язати рівняння
Рішення:
Дане рівняння можна вирішити або через Теорему Вієта, або через дискримінант.
D=9 + 8=1;
;
=- 1;
.
Відповідь: х1=- 1, х2=- 2.
) Раціональні рівняння
раціональні рівняння - рівняння виду
,
де і многочлени, атак ж рівняння виду, де і - раціональні.
Приклад 3: Вирішити рівняння
Рішення:
Відповідь:.
) Ірраціональні рівняння
Ірраціональні рівняння - це рівняння, в яких змінна втримується під знаком кореня або під знаком операції введення в дробовий ступінь.
Приклад 4: Вирішити рівняння
Зведемо обидві частини в квадрат:
Відповідь:.
) Показові і логарифмічні рівняння
При рішення показових рівнянь використовуються два основні методи: а) перехід від рівняння до рівняння; б) введення нових змінних. Іноді приходиться застосовувати штучні прийоми.
Логарифмічні рівняння - вирішуються трьома методами, тобто перехід від рівняння до рівняння - наслідку; метод введення нових змінних логарифм...
