жається, у разі однорідного тіла, через відношення різниці температур і відстані, а в разі неоднорідного тіла - через похідну по напрямку нормалі до нашого зрізу;
г) тепловий потік пропорційний площі зрізу. Якщо
ми візьмемо цегла вдвічі ширше (або просто складемо дві цеглини), то
тепловий потік подвоїться. Тут знову спрацьовує теорія адитивних
функцій множини; д) тепловий потік пропорційний часу, протягом якого він про-
ходив: за 2:00 через той же зріз пройде вдвічі більше тепла, ніж за
1 година. Отримуємо формулу: (3)
Рис.3. Візьмемо цегла вдвічі ширше
або, якщо зробити нескінченно малим,
(4)
Знак плюс чи мінус вибирається залежно напрямки нормалі до зрізу (вона ж може бути спрямована як у ту, так і в інший бік), k - коефіцієнт, залежить тільки від матеріалу, званий коефіцієнтом теплопровідності.
Ми не даремно так довго говорили про такий банальному об'єкті, як цегла. Для неоднорідного середовища все ті ж міркування повторюються в точності, тільки з тією різницею, що «цеглина» є нескінченно малим (і при цьому неоднорідністю всередині нього можна знехтувати). Формула (4) описує тепловий потік, що протікає через будь-яку нескінченно малу площадку S будь-якої поверхні в будь-якому тілі. Якщо ж ми виділили в довільному тілі деякий обсяг V і хочемо обчислити тепловий потік, що виходить з цього тіла, нам треба проінтегрувати формулу (4) по поверхні S,
(5)
Звичайні диференціальні рівняння виникають з формули (5) при наявності в процесі поширення тепла якийсь симетрії. Тоді за рахунок відповідного вибору системи поверхонь «расслаивающей» тіло на пласти з однаковою температурою, вдається описати процес звичайним диференціальним рівнянням.
Візьмемо той же цегла: в ньому залежить тільки від однієї координати (наприклад,). Тоді, вибираючи в якості поверхонь
площині, отримуємо, інтеграл просто дорівнює цієї похідної, помноженої на площу поперечного перерізу цегли з коефіцієнтом k, і для сталого процесу тепловіддачі, отримуємо рівняння
(6)
Якщо наш процес має сферичну симетрію (тобто температура залежить тільки від відстані r від деякої точки, то, вибираючи в якості
системи поверхонь сфери, отримаємо, інтеграл дорівнює
цієї похідної, помноженої на площу сфери з коефіцієнтом k, і ми отримуємо інше рівняння:
(7)
Аналогічно у разі циліндричної симетрії (температура однакова на циліндричних поверхнях) отримуємо ще одне рівняння:
(8)
(тут r - відстань до загальної осі циліндрів, l - довжина твірної циліндрів).
Нарешті, ми можемо з того ж рівняння (5) отримати і загальне рівняння теплопередачі, придатне для будь-якого тіла. Підставивши в нього зв'язок між зміною кількості теплоти і зміною температури (1) і скористаємося відомою формулою перетворення інтеграла по поверхні від нормальної похідної функції в інтеграл за обсягом від оператора Лапласа, застосованого до цієї функції:
Звідси, користуючись тим, що праворуч і ліворуч стоїть інтеграл по одному і тому ж обсягом, і тим, що це рівність виконано для будь-якого обсягу, отримуємо рівність подинтегральних функцій
(9)
відоме як рівняння теплопровідності.
3. Побудова ортогонального сімейства кривих
У деяких завданнях фізики і механіки буває необхідно по даному сімейству кривих побудувати сімейство ортогональних до них кривих (ортогональность двох кривих у точці їх перетину розуміється, природно, як ортогональность дотичних до них).
Рис.4. Ортогональні сімейства кривих
Нехай нам задано сімейство, що описується рівнянням з параметром
Для побудови ортогонального сімейства нам необхідно обчислити дотичні до кривих вихідного сімейства. Нехай у (х) одна з кривих. Тоді Диференціюючи, отримуємо
Звідки
Таким чином, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої сімейства, що проходить через точку (х, y), може бути обчислений без знання самої кривої. Але тоді кутовий коефіцієнт дотичної до кривої з ортогонального сімейства ми теж можемо обчислити (умова ортогональності прямих):
Це і є рівняння ортогонального сімейства. Наприклад, для сімейства окружностей отримуємо рівняння ортогонального сімейства кривих:. Рішення цього рівняння - сімейство прямих у=Сх, дійсно ортогональних до кіл.
. Рівняння хімічної кінетики
Швидкість реакції пропорційна кількості кожного з реагуючих речовин. Опишемо математично хімічну реакцію. Нехай є дві речовини А і Б, і з них в результаті реакції утворюється речовина X. Кількості речовин А, В і X у момент часу t по...
