ти граничним умовам (1.1) і (1.2). Характеристичне рівняння, яке відповідає (1.16), таке:
В
Воно володіє тим властивістю, що його коріння попарно симетричні відносно початку координат комплексної площини p , тобто корінню, відповідають коріння,. На цій підставі рішення (1.4) можна записати у вигляді
(1.5)
де постійні, повинні бути такими, щоб виконувалися граничні умови. p> Нехай для визначеності коріння такі, що
,,
У цьому випадку постійні в (1.5) повинні бути рівними нулю в силу того, що згідно (1.2) при функція і її похідні прагнуть до нуля. Таким чином, вираз для екстремал повинно бути
. (1.6)
Однак відомо, що, обумовлена формулою (1.6), є рішення одного диференціального рівняння n -го порядку
(1.7)
Коефіцієнти цього рівняння однозначно виражаються через коріння по формулами Вієта. p> Зазначимо, що початковими умовами для рівняння (1.7) є (1.1). p> З наведеного аналізу випливає, що екстремаль інтеграла при граничних умовах (1.1), (1.2) є рішенням однорідного диференціального рівняння (1.7), порядок якого дорівнює порядком оптимизируемой системи. На цій підставі можна зробити висновок, що параметрична оптимізація системи за критерієм мінімуму інтегральної квадратичної оцінки виконується з умови, щоб вихідна змінна x ( t ) системи у вільному русі змінювалася в часі з написаним законом, обумовленому диференціальним рівнянням (1.7). Це в свою чергу означає, що завдання параметричної оптимізації можна розглядати як зворотну задачу динаміки, формулируемое наступним чином: динамічна система заданої структури має варійовані параметри; потрібно знайти такі значення цих параметрів, при яких рух системи проходить по запропонованої траєкторії, яка визначається диференціальним рівнянням виду (1.7). p> Практично не завжди виявляється можливим провести параметричний синтез системи з умови, щоб її вихідна змінна x ( t ) в точності дорівнювала змінної, яка є екстремали минимизируемого функціоналу. У більшості випадках параметри шукаються з умови найкращого (в -якому сенсі) наближення x ( t ) і. Дуже часто в якості міри наближення використовують визначені інтеграли:
В
і інші. Тут - відхилення вихідної змінної оптимизируемой системи від екстремальної кривої;, - похідні за часом;, - додатні числа. Вираз (1.7) являє собою, по суті справи, також інтегральні оцінки, записані для відхилень траєкторії синтезируемой системи від призначеної. p> У прикладних задачах параметричної оптимізації не завжди використовуються інтегральні квадратичні оцінки, порядок яких дорівнює порядку диференціального рівняння оптимизируемой системи. Дуже часто параметричний синтез проводять по квадратичним оцінками першого і другого порядку. У таких випадках параметри системи визначаються з умови, щоб вихідна змінна x ( t ) наближалася до вирішення диференціального рівняння першого або відповідно другого порядку. p> Таким чином, вимога оптимальності системи по перехідному процесу в сенсі мінімуму інтегральної квадратичної оцінки рівносильно вимогу, щоб вихідна змінна системи в її вільному русі змінювалася відповідно до рішення однорідного диференціального рівняння порядку m .
3. Застосування спектрального методу для вирішення обернених задач динаміки
Розглянемо рішення спектральним методом зворотної задачі динаміки в такій постановці. p> Відома система автоматичного управління (регулювання), яка може бути як стаціонарної, так і нестаціонарної, і робота якої описується таким диференціальним рівнянням:
(2.1)
де
- сигнал на виході системи;
- сигнал на вході системи;
- коефіцієнти диференціального рівняння, що є функціями часу.
При цьому невідомі деякі параметри налаштування системи управління, які необхідно визначити в процесі виконання завдання. Позначимо безліч цих параметрів через де - їх число. Тоді коефіцієнти диференціального рівняння будуть залежати від і, отже можна записати;
(2.2)
Заданий еталонний сигнал на інтервалі або його спектральна характеристика, який необхідно отримати на виході системи (2.2). У загальному випадку можуть бути задані ненульові початкові умови:
(2.3)
Для заданих диференціального рівняння (2.2), еталонного вихідного сигналу і початкових умов (2.3) необхідно визначити вхідний сигнал і шукані сигналу на виході отримали б сигнал, максимально параметри налаштування такими, що при подачі на вхід системи автоматичного управління знайденого вхідного у відомому сенсі наближений до еталонного. p> У якості міри близькості реального сигналу на виході системи (2.2), (2.3) до еталонному сигналу на інтервалі приймемо наступний функціонал
(2.4)
Невідомий вхідн...
