у для дискретною величиною
В
.
Для неперервно величин
В В
Доведення 4-ї Властивості математичного сподівання. За зазначену для дискретною величиною
.
(враховано, что для незалежних подій)
Для неперервно величин
В
.
Умовні Початкові та центральні моменти порядку k компонент означаються рівностямі
(2.12a)
(2.12b)
(2.13а)
(2.13b)
Найбільш ВАЖЛИВО среди умовних моментів є Умовні математичні сподівання компонент
(2.14а)
(2.14b)
Умовні математичні сподівання компонент характеризують зв'язок между Випадкове величинами Умовне математичне сподівання компоненти Y є функцією x и назівається функцією регресії Y на X . Аналогічно, Умовне математичне сподівання компоненти X є функцією y и назівається функцією регресії X на Y .
Приклад 2.2. Дискретна Випадкове величина задана суміснім розподілом
y 1 = 3 y 2 = 6
В
звітність, обчісліті функцію регресії Y на X та функцією регресії X на Y.
Розв'язування . За цей самий (2.14b) регресія Y на X
. (1 *)
За формулою (1.1a)
,
За формулою (1.10а)
,.
За формулою (1 *)
.
Аналогічно для решті значень віпадкової Величини X .
, ,,
.
, ,,
.
, ,,
.
Отже, функція регресії Y на X
В В
За зазначену (2.14a) регресія X на Y
. (2 *)
За формулою (1.1b)
.
За формулою (1.10b)
,,, p>.
За формулою (2 *)
.
Аналогічно для Іншого Значення віпадкової Величини Y .
,
,,
,,
.
Отже, функція регресії X на Y
.
Середньоквадратічна регресія.
Нехай система двох залежних Випадкове величин. І нехай звітність, дослідіті залежність Випадкове величин Одне від одного. Досить часто випадкове величина Y апроксімується лінійною функцією віпадкової Величини X :
, (3.1)
a , b - параметри, Які звітність, обчісліті. Функція, яка Забезпечує мінімум математичного сподівання
В
назівається середньоквадратічною регресією Y на X . Дещо громізкімі, альо Просто вікладкамі можна довести , Что
. (3.2)
Доведення .
В В В В В В В
Точки мінімуму Функції знаходяться як розв'язок системи рівнянь
В В
З врахування цього ця система рівнянь запишеться у вігляді
,
розв'язок Якої
,, (3.3)
а значити середньоквадратічна регресія Y на X остаточно запишеться у вігляді
(3.4)
Коефіцієнт назівають коефіцієнтом середньоквадратічної регресії Y на X, а пряму
(3.5)
прямою середньої квадратічної регресії Y на X.
Мінімальне Значення Функції (3.2) при значенні a , b (3.3б) дорівнює и назівається Залишкова дісперсією віпадкової величина Y відносно Величини X . Вона характерізує похібку апроксімації. При залишкова дісперсія дорівнює 0. Це означає, что при таких значеннях коефіцієнта кореляції віпадкові Величини X та Y зв'язані лінійною функціональною залежністю . значний величина залішкової дісперсії є Ознакою того, апроксімація (3.1) є Невдалий. У цьом випадка слід користуватись апроксімацією поліномамі Другої, третьої, и Вище, степені.
Аналогічно, можна здобудуть пряму середньоквадратічної кореляції X на Y:
. (3.6)
(коефіцієнт - коефіцієнт середньоквадратічної регресії X на Y , - залишкова дісперсія віпадкової Величини X відносно величина Y . При обідві Прямі регресії співпадають. p> З рівностей (3.4) ту (3.6) слідує, что обідві Прямі проходять через крапку. Цю точку назівають центром сумісного розподілу двовімірної віпадкової розмірів .
Лінійна кореляція нормальних величин
Если обідві Функції регресій X на Y та Y на X є лінійнімі функціямі, то говорять, что X та Y зв'язані лінійною кореляційною залежністю. Графікі лінійніх регресій - Прямі Лінії, Які співпадають з пряму середньоквадратічніх регресій.
Если двовімірна Випадкове величина ( X , Y ) має нормальний закон розподілу у сукупності, то X та
