на 3, а з рівняння (c) - рівняння, помножене на 4.
В
Розділивши рівняння () на - 2,5, отримаємо:
В
Віднімемо з рівняння () рівняння, помножене на - 3:
В
З рівняння знаходимо Z = -2; підставивши це значення в рівняння, отримаємо Y = 0,2-0,4 Z = 0,2-0,4 (-2) = 1; нарешті, підставивши значення Z = -2 і Y = 1 в рівняння (a 1) , знаходимо X = 0,5-0,5 Y-Z = 0,5-0,5 1 - (-2) = 2. Отже, отримуємо відповідь X = 2, Y = 1, Z = -2. p> Перевірка:
В
Лінійні рівняння.
Рівняння виду ax + b = 0, де a і b - деякі постійні, називається лінійним рівнянням.
Якщо a В№ 0, то лінійне рівняння має єдиний корінь: x = - b/a.
Якщо a = 0; b В№ 0, то лінійне рівняння рішень не має.
Якщо a = 0; b = 0, то, переписавши вихідне рівняння у вигляді ax = - b, легко бачити, що будь-яке x є рішенням лінійного рівняння.
Рівняння прямої має вигляд: y = ax + b.
Якщо пряма проходить через точку з координатами X 0 і Y 0 , то ці координати задовольняють рівняння прямої, тобто Y 0 = AX 0 + b. p> Приклад 1.1 Вирішити рівняння
2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.
Рішення. Послідовно відкриємо дужки, наведемо подібні члени і знайдемо x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,6 x = 12, x = 2. p> Відповідь: 2.
Приклад 1.2 Вирішити рівняння 2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7. p> Решеніе.2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Відповідь: Г†.
Приклад 1.3 Вирішити рівняння.
2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5. br/>
Рішення.
2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5, - 4x + 9 = 9 - 4x,
4x + 4x = 9 - 9,0 x = 0. br/>
Ответ: Будь-яке число.
Системи лінійних рівнянь.
Рівняння виду
a 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = b,
де a 1 , b 1 , ..., A n , b - деякі постійні, називається лінійним рівнянням з n невідомими x 1 , x 2 , ..., X n . p> Система рівнянь називається лінійної, якщо всі рівняння, входять у систему, є лінійними. Якщо система з n невідомих, то можливі наступні три випадки:
система не має рішень;
система має рівно одне рішення;
система має нескінченно багато рішень.
Приклад: вирішити систему рівнянь
В
x + y - z = 2,2
x - y + 4 z = 1,
x + 6 y + z = 5.
В
Рішення. При вирішенні систем лінійних рівнянь зручно користуватися методом Гаусса, який полягає в перетворенні системи до трикутного вигляду.
Множимо перше рівняння системи на - 2 і, складаючи отриманий результат з другим рівнянням, отримуємо - 3y + 6z = - 3. Це рівняння можна переписати у вигляді y - 2z = 1. Складаючи перше рівняння з третім, отримуємо 7y = 7, або y = 1.
Таким чином, система набула трикутний вигляд
x + y - z = 2,
y - 2z = 1, y = 1.
Підставляючи y = 1 в друге рівняння, знаходимо z = 0. Підставляючи y = 1 і z = 0 до першого рівняння, знаходимо x = 1. p> Відповідь: (1; 1; 0).
Системи рівнянь другого ступеня.
У найпростіших випадках при вирішенні систем рівнянь другого ступеня вдається висловити одне невідоме через інший і підставити це вираз в друге рівняння.
При вирішенні систем рівнянь другого ступеня часто використовується також спосіб заміни змінних.
Приклад. Серед рішень (x; y) системи знайти те, для якого сума (x + Y) максимальна. Обчислити значення цієї суми. br/>
2x + y = 7,
xy = 6.
Рішення. З першого рівняння отримуємо y = 7 - 2x. Підставляючи значення y в друге рівняння, отримуємо систему рівнянь
y = 7 - 2x,
7x - 2x 2 = 6.
Квадратне рівняння - 2x 2 + 7x - 6 = 0 має корені X1 = 2; X2 = 3/2. З першого рівняння отримуємо Y1 = 3; Y2 = 4. p> Рішення мають вигляд (2, 3) і (1,5; 4). Найбільша сума x + y = 1,5 + 4 = 5,5. p> Відповідь: 5,5.
Метод введення нових невідомих під час вирішення рівнянь і систем рівнянь.
При вирішенні біквадратних і зворотних рівнянь ми вводили нові невідомі (у = х 2 для біквадратних рівнянь і у = х + 1/х для зворотних рівнянь). Введення нових невідомих застосовується також при вирішенні рівнянь іншого виду та систем рівнянь.
Приклад Вирішимо рівняння 12/(х 2 + 2х) - 3/(х 2 + 2х - 2) = 1.
Рішення. Якщо спробувати привести дріб у лівій частині рівняння до одного знаменника, то отримаємо рівняння четвертого ступеня, яке ми вміємо вирішувати. p> Щоб вирішити зада...
