точок площини, що задовольняють другому рівнянню, є дві прямі
і
З'ясуємо, при яких значеннях параметра а крива з сімейства "Полупарабол" має хоча б одну спільну точку з однією з отриманих прямих. p> Якщо вершини полупарабол знаходяться правіше точки А, але лівіше точки В (точка В відповідає вершині тієї "полупараболи", яка стосується
прямий), то аналізовані графіки не мають спільних точок. Якщо вершина "полупараболи" збігається з точкою А, то. p> Випадок торкання "полупараболи" з прямою визначимо з умови існування єдиного рішення системи
В
У цьому випадку рівняння
В
має один корінь, звідки знаходимо:
В
Отже, вихідна система не має рішень при, а при або має хоча б одне рішення.
Відповідь: а ГЋ (- ВҐ; -3] Г€ (; + ВҐ).
IV. Вирішити рівняння
В
Рішення. p> Використавши рівність, задане рівняння перепишемо у вигляді
В
Це рівняння рівносильне системі
В
Рівняння перепишемо у вигляді
. (*) p> Останнє рівняння найпростіше вирішити, використовуючи геометричні міркування. Побудуємо графіки функцій і З графіка випливає, що при графіки не перетинаються і, отже, рівняння не має рішень.
Якщо, то при графіки функцій збігаються і, отже, всі значення є рішеннями рівняння (*).
При графіки перетинаються в одній точці, абсциса якої. Таким чином, при рівняння (*) має єдине рішення -.
Досліджуємо тепер, при яких значеннях а знайдені рішення рівняння (*) Будуть задовольняти умовам
В
Нехай, тоді. Система прийме вигляд
В
Її рішенням буде проміжок хГЋ (1, 5). Враховуючи, що, можна зробити висновок, що при вихідному рівнянню задовольняють всі значення х з проміжку [3, 5). p> Розглянемо випадок, коли. Система нерівностей прийме вигляд
В
Вирішивши цю систему, знайдемо аГЋ (-1; 7). АлеВ , Тому при аГЋ (3, 7) вихідне рівняння має єдине рішення. p> Відповідь:
якщо аГЋ (- ВҐ; 3), то рішень немає;
якщо а = 3, то хГЋ [3, 5);
якщо aГЋ (3, 7), то;
якщо aГЋ [7; + ВҐ), то рішень немає.
V. Вирішити рівняння
, де а - параметр. (5)
Рішення.
1. При будь-якому а : p> 2. Якщо, то;
якщо, то.
3. Будуємо графік функції, виділяємо ту його частину, яка відповідає. Потім відзначимо ту частину графіка функції, яка відповідає. p> 4. За графіком визначаємо, при яких значеннях а рівняння (5) має рішення і за яких - не має рішення.
Відповідь:
якщо, то
якщо, то;
якщо, то рішень немає;
якщо, то,.
VI. Яким умовам повинні задовольняти ті значення параметрів і, при яких системи
(1)
і
(2)
мають однакове число рішень?
Рішення. p> З урахуванням того, що має сенс тільки при, отримуємо після перетворень систему
(3)
рівносильну системі (1).
Система (2) рівносильна системі
<...
