лоні. br/>
Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
Необхідність вирішувати рівняння не тільки першою, але й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:
В
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті з сучасним, однак невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи рішення квадратних рівнянь. p> У В«АрифметиціВ» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одна з його завдань.
Завдання 2. В«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96 В».
Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х. Інше ж менше, тобто 10 - Х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння:
(10 + x) (10-x) = 96,
або ж
100-x 2 = 96.
x 2 - 4 = 0
Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала тільки позитивні числа.
Якщо вирішити це завдання, вибираючи в як невідомого одне з шуканих чисел, то можна прийти до вирішення рівняння:
y (20-y) = 96
y 2 - 20y +96 = 0
Ясно, що, обираючи як невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує вирішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння.
Квадратні рівняння в Індії
Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті В«АріабхаттіамВ», складеному в 499 м. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:
ax 2 + b х = с, а> 0. (1)
У рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим. p...
