ас тіла:
В В В
Розглянемо додатки потрійних інтегралів на конкретних завданнях.
Приклад 1
Знайти об'єм тіла, обмеженого площинами
Рішення:
Задамо область нерівностями:
В
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
2)
3)
Відповідь:
Приклад 2
Знайти масу тіла, обмеженого площинами
щільності
Рішення:
Задамо область нерівностями:
В
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Виконаємо поетапне обчислення інтеграла:
)
) =
В
)
Відповідь:
Приклад 3
Знайдіть моменти інерції тіла, обмеженого площинами і щільністю щодо координатних осей і початку координат.
Рішення:
Задамо область V нерівностями:
В
Знайдемо момент інерції.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В
2)
=
)
В
Знайдемо момент інерції.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В
)
В
3)
В В В
Знайдемо момент інерції.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
1)
В
2)
В
)
В В
Знайдемо момент інерції.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
В В В
2)
В В
3)
В В В
Відповідь:
Приклад 4
Знайти статистичні моменти тіла, обмеженого площинами і щільністю щодо координатних площин,,.
Рішення:
Задамо область V нерівностями:
В
Знайдемо статистичний момент.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
1)
2)
3)
В
Знайдемо статистичний момент.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
2)
3)
В
Знайдемо статистичний момент.
Перейдемо від потрійного інтеграла до повторного:
В
Проведемо поетапне обчислення інтеграла:
)
2)
3)
В
Відповідь:
Приклад 5
Знайти координати центру мас тіла, обмеженого площинами і щільністю.
Рішення:
З прикладу 4:
З прикладу 2:
В В В
Відповідь:
5. Контрольна робота з теми: В«Додатки кратних інтегралівВ»
