> = ? 2 +? 2 , і скалярним твором ( ? 1, ? 2 ) = М ? 1 ? 2 ВЇ , де ? 2 ВЇ - комплексно-сполучена випадкова величина.
При алгебраїчних операціях вектори Rn розглядаються як алгебраїчні стовпці,
,
- як вектор-рядки, a * - (а1, а2, ..., аn). Якщо Rn, то під їх скалярним твором (a, b) буде розумітися величина. Ясно, що
Якщо аRn і R = | | rij | | - матриця порядку nхn, то
=. (1)
Визначення 1. Нехай F = F (х1, ...., хn) - n-мірна функція розподілу в (, ()). Її характеристичної функцією називається функція
. (2)
Визначення 2 . Якщо? = (? 1, ...,? N) - випадковий вектор, визначений на вероятностном просторі зі значеннями в, то його характеристичної функцією називається функція
(3)
де F? = F? (Х1, ...., хn) - функція розподілу вектора? = (? 1, ...,? N). p> Якщо функція розподілу F (х) має щільність f = f (х), то тоді
.
У цьому випадку характеристична функція є не що інше, як перетворення Фур'є функції f (x).
З (3) випливає, що характеристичну функцію?? (t) випадкового вектора можна визначити також рівністю
. (4)
Основні властивості характеристичних функцій (у разі n = 1).
Нехай? =? (?) - Випадкова величина, F? = F? (Х) - її функція розподілу і - характеристична функція. p> Слід зазначити, що якщо, то.
Тому
. (5)
Далі, якщо? 1,? 2, ...,? n - незалежні с. в. і Sn =? 1 +? 2 + ... +? n, то
(6)
Справді,,
де скористалися тим, що математичне очікування твори незалежних (обмежених) випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.
Властивість (6) є ключовим при доказі граничних теорем для сум незалежних випадкових величин методом характеристичних функцій. У цьому зв'язку, функція розподілу виражається через функції розподілу окремих доданків вже значно складнішим чином, а саме, де знак * означає згортку розподілів. p> З кожною функцією розподілу в можна пов'язати випадкову величину, що має цю функцію в якості своєї функції розподілу. Тому при викладі властивостей характеристичних функцій можна обмежитися розглядом характеристичних функцій випадкових величин. p> Теорема 1. Нехай? - Випадкова величина з функцією розп...
