оділу F = F (х) і - її характеристична функція. p> Трапляються такі характеристики:
) |
) рівномірно безперервна по;
);
) є действітельнозначной функцією тоді і тільки тоді, коли розподіл F симетрично
В
) якщо для деякого n? 1, то при всіх існують похідні і
В
,
де і
) Якщо існує і є кінцевою, то
) Нехай для всіх n? 1 і
тоді при всіх | t |
В
Наступна теорема показує, що характеристична функція однозначно визначає функцію розподілу.
Теорема 2 (єдиності). Нехай F і G - дві функції розподілу, що мають одну і ту ж характеристичну функцію, тобто для всіх
В
Тоді.
Теорема говорить про те, що функція розподілу F = F (х) однозначно відновлюється за своєю характеристичної функції. Наступна теорема дає явну представлення функції F через. p> Теорема 3 (формула узагальнення). Нехай F = F (х) - функція розподілу і - її характеристична функція. p> а) Для будь-яких двох точок a, b (a
В
) Якщо то функція розподілу F (х) має щільність f (x),
В
.
Теорема 4. Для того щоб компоненти випадкового вектора були незалежні, необхідно і достатньо, щоб його характеристична функція була твором характеристичних функцій компонент:
.
Теорема Бохнера-Хінчина . Нехай - неперервна функція, Для того, щоб була характеристичної, необхідно і достатньо, щоб вона була неотрицательно-визначеної, тобто для будь-яких дійсних t1, ..., tn і будь-яких комплексних чисел
.
Теорема 5. Нехай - характеристична функція випадкової величини. p> а) Якщо для деякого, то випадкова величина є гратчастої з кроком, тобто
В
) Якщо для двох різних точок, де - ірраціональне число, то випадкова величина? є виродженою:
,
де а - деяка константа.
с) Якщо, то випадкова величина? вироджена.
1.3 Центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин
Нехай {} - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин. Математичне сподівання M = a, дисперсія D =, S =, а Ф (х) - функція розподілу нормального закону з параметрами (0,1). Введемо ще послідовність випадкових величин
=.
Теорема. Якщо 0 <<, то при n P ( У цьому випадку послідовність {} називається асимптотично нормальною.
З того, що М = 1 і з теорем безперервності випливає, що поряд зі слабкою збіжністю, ФМ f () Mf () для будь-якої неперервної обмеженою f має місце також збіжність М f () Mf () для будь-якої неперервної f, такий, що | f (x) |
Доказ.
Рівномірна збіжність тут є наслідком слабкої збіжності та безперервності Ф (х). Далі, без обмеження спі...
