y (xk)
У вдосконаленому методі Ейлера-Коші в першому наближенні покладається:
В
а в другому
Похибка методу Ейлера визначається залишковим членом ряду Тейлора
В
тобто R ~ h2 на кожному кроці обчислень. Для забезпечення збіжності крок h слід вибирати досить малим. Для методу Ейлера-Коші похибка має порядок h2. p> Розглянемо метод Рунге і Кутта. В основі отримання обчислювальних схем цього методу лежить розкладання функції y (x) в ряд Тейлора з наступним перетворенням відрізка ряду до виду, не який містить похідних. На кроці h похідна dy/dx = f (x, y) апроксимується параболою другого порядку. Тут функція? (X, h) визначається формулою парабол Сімпсона (формула Ньютона - Котеса для трьох вузлів):
В
Розглянемо диференціальне рівняння при початковому умови (хА, УА). Виконаємо такі операції:
За відомим початковим умовам (хА, УА) визначимо значення похідної в початковій точці А:.
З початкової точки А проведемо пряму (рис 1.2.)
і відзначимо значення її ординати в середині кроку інтегрування h (точка В з координатами
).
В
Рис 1.2.
) Знайдемо значення похідної за формулою в точці В: і проведемо з точки А пряму. Зазначимо значення ординати цієї прямої в середині кроку інтегрування h (точка С з координатами). p>) За рівняння знайдемо значення похідної в точці С: і проведемо з точки А пряму. Зазначимо значення ординати цієї прямої в кінці кроку інтегрування h (точка D з координатами). p>) За рівняння знайдемо значення похідної в точці D:.
У результаті побудов знайдемо значення похідних в точках А, В, С і D. Відкладемо ці значення на графіку рис 1.3. Як видно з графіка, в точці з абсцисою отримані два значення похідної замість одного. Це наслідок наближеності методу. Приймемо в цій точці середнє значення похідної:. Відклавши на графіку (рис 1.3.) Ординату, отримаємо точку М.
В
Рис 1.3.
Будемо вважати, що крива, що зображує залежність повинна проходити через точки A, M і D. Проведемо через ці три точки параболу, рівняння якої:
.
Значення коефіцієнтів a, b і з вибираються з умови проходження параболи через точки А, М, і D. Коефіцієнт. З рівняння параболи маємо систему:
В
Вирішивши ці рівняння, знайдемо:
В
Проинтегрируем тепер рівняння параболи в межах від x = xA до x = xA + h. Значення цього інтеграла є приростом шуканої функції y при зміні х на величину h. Таким чином Підставивши сюди отримані вище вирази для a, b, c, після приведення подібних членів для загального випадку () отримаємо:
В
Як видно, прирощення шуканої функції на кроці h за допомогою описаних побудов вдалося представити через значення перших похідних функції в чотирьох точках, що лежать в межах кроку інтегрування h.
Запишемо розрахункові формули методу Рунге-Кутта:
В
За умови існування у фу...
