stify"> є постійними інтегрування і визначаються за початковими умовами.
Коливання, що відбуваються за законом (6) називаються затухаючими, так як завдяки наявності множника e-bt величина x з плином часу убуває, прагнучи до нуля, аналогічна ситуація відбувається зі швидкістю і прискоренням матеріальної точки [3, 10,14].
.2 Вимушені коливання при наявності опору
Розглянемо рух точки, на яку діють: відновлююча сила F, сила опору R, пропорційна швидкості і збурювальна сила Q, визначається формулою [10]:
Qx = Q0sin pt (7)
Диференціальне рівняння цього руху має вигляд:
Деля обидві частини рівняння на m, та враховуючи рівність (2) і рівність (8)
Q0/m = P0 (8)
після перетворення отримуємо:
Рівняння (9) є диференціальним рівнянням вимушених коливань точки при наявності опору [1,3,10,14]. Його загальне рішення, як відомо, має вигляд x = x1 + x2, де x1-загальне рішення рівняння без правої частини, а x2-яке-небудь приватне рішення повного рівняння (9). Будемо шукати x2 у вигляді:
x2 = A sin (pt-?)
Де А і ? - постійні, які треба підібрати так, щоб рівність (9) звернулося в тотожність. Обчислюючи похідні, одержимо:
Підставляючи ці значення похідних і величини x2 в ліву частину рівняння (9) і позначаючи для стислості pt-? =? ( або pt + ? =?), будемо мати:
A (-p2 + k2) sin? +2 bpAcos? = P0 (cos? sin? + sin? cos?)
Щоб це рівність виконувалося при будь-якому ?, тобто в будь-який момент часу, коефіцієнти при sin ? і cos? в лівій і правій частині повинні порізно рівні один одному; отже:
(-p2 + k2) = P0cos ? , 2bpA = P0sin ?
З отриманих рівнянь (ними також користуються для однозначного визначення величини ?) знаходимо, зводячи їх спочатку почленно в квадрат і складаючи, а потім ділячи почленно один на одного:
A = P0 /? (k2-p2) 2 +4 b2 p2, tg ? = 2bp/k2 -p2 (10)
Так як x = x1 + x2, а значення x1 (при k> b) дається рівністю (6), то
ост...
