го середовища (T> T0). Нехай Q - кількість теплоти <# "19" src = "doc_zip31.jpg"/>. br/>
З іншого боку швидкість віддачі тепла можна виразити у вигляді
,
де k - деякий коефіцієнт пропорційності. Виключаючи з цих двох рівнянь dQ отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними:
.
Спільним рішенням <# "justify"> .
1.2 Класифікація рівнянь другого порядку
Лінійні рівняння другого порядку в приватних похідних поділяються на параболічні <# "47" src = "doc_zip35.jpg"/>
де A, B, C - коефіцієнти, які залежать від змінних x і y, а три крапки означає члени, що залежать від x, y, u і приватних похідних першого порядку: і. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:
В
Так само, як конічні перетину поділяються на еліпси <# "19" src = "doc_zip39.jpg"/> - гіперболічного рівняння <# "19" src = "doc_zip40.jpg"/> - Еліптичне рівняння < # "19" src = "doc_zip41.jpg"/> - Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не звертаються в нуль одночасно).
У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C - постійні, рівняння має один і той же тип у всіх точках площини змінних x і y. У разі, якщо коефіцієнти A, B, C безперервно залежать від x і y, безліч точок, в яких дане рівняння відноситься до гіперболічного (еліптичному), типу утворює на площині відкриту область, звану гіперболічної (еліптичної), а безліч точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типу, замкнуто. Рівняння називається змішаним <# "47" src = "doc_zip42.jpg"/>
з початковими умовами <# "21" src = "doc_zip43.jpg"/>
В
де n - ціле. Похідна від функції u по змінній y рівномірно <# "42" src = "doc_zip45.jpg"/>
Рішення прагне до нескінченності, якщо nx не кратне? для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається погано поставленої або некоректної <# "44" src = "doc_zip46.jpg"/>
де u (t, x) - температура, і? - Позитивна константа, що описує швидкість поширення тепла. Завдання Коші ставиться наступним чином:
,
де f (x) - довільна функція.
Рівняння коливання струни <# "44" src = "doc_zip48.jpg"/>
Тут u (t, x) - зміщення струни з положення рівноваги, або надлишковий тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c - швидкість поширення хвилі. Для того, щоб сформулювати завдання Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:
В В
Двомірне рівняння Лапласа <# "47" src = "doc_zip51.jpg"/>
Його рішення називаються гармонійними функціями <# "46" src = "doc_zip52.jpg"/>
Складаючи і віднімаючи рівняння один з одного, отримуємо:
В
Також можна показати, що будь-яка гар...
