монійна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.
Граничні задачі
Граничні завдання ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області - деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі крайові задачі:
- завдання Дирихле <# "42" src = "doc_zip56.jpg"/> - завдання Неймана <# "21" src = "doc_zip57.jpg"/>
У початковий момент часу задамо початкові умови:
В В
Уявімо рішення у вигляді:
В
Після підстановки у вихідне рівняння коливань, розділимо на твір X (x) T (t) отримуємо:
В
Права частина цього рівняння залежить від t, ліва - від x, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні постійної величини, яку позначимо через? ? 2:
В
Звідси знаходимо рівняння для X (x):
В
Нетривіальні рішення цього рівняння при однорідних крайових умов можливі тільки при й мають вигляд:
В
Розглянемо рівняння для відшукання T (t):
В
Його рішення:
В
Отже, кожна функція виду
В
є рішенням хвильового рівняння.
Щоб задовольнити рішення початковим умовам, складемо ряд:
В
Підстановка в початкові умови дає:
В
Останні формули являють собою розкладання функцій f (x) і g (x) в ряд Фур'є <# "62" src = "doc_zip71.jpg"/>
Рівняння коливань струни
Даний спосіб вирішення називається методом кінцевих диференціалів. Він досить просто реалізуємо за допомогою програмування. p> Цей метод заснований на визначенні похідної функції y = y (x):
В
Якщо є функція u = u (x, t), то часткова похідна буде наступна:
В
Так як? x ми використовуємо досить маленький, знаки меж можна відкинути. Тоді отримаємо такі вирази:
В В
Для зручності надалі приймемо такі позначення:
В В
В
? x = h, ? t =?
Тоді попередні висловлювання можна записати так:
,
Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому:
, - це ліві диференціали.
Підсумувавши обидва вирази отримаємо наступне:
В В
з яких випливає:
В В
Аналогічно можна отримати і диференціали другого порядку:
В В
Рівняння коливань стру...
