ті замінюється на ее заперечення -
аксіому паралельності Лобачевского: Знайдуться така пряма a и така НŠ​​лежить на ній точка A, что через A проходять прінаймні Дві Прямі, що не перетінають a.
Несуперечність системи аксіом доводитися вигляд МОДЕЛІ, в якій реалізуються дані аксіомі.
3. Три МОДЕЛІ геометрії Лобачевського
Віділяють три Різні МОДЕЛІ геометрії Лобачевського: 1) Модель Пуанкаре 2) Модель Клейна 3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (Інтерпретація Бельтрамі)
1) Модель Пуанкаре.
У МОДЕЛІ Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носити Назву В«абсолютуВ». Точками площіні Лобачевського вважаються точки площини E, что лежати Вище абсолюту x. Таким чином, в МОДЕЛІ Пуанкаре площинах Лобачевського - це напівплощина L, что лежить Вище абсолюту. Пряму площіні L вважаються півкола з центрами на абсолюті або Промені з вершинами на абсолюті и перпендікулярні Йому. br/>В
фігура на площіні Лобачевського - це фігура напівплощіні L. Належність точки фігурі розуміється так само, як и на евклідової площини E. При цьом відрізком площіні L вважається дуга кола з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендікулярної абсолюту (рис. 1). Точка K лежить между точками C и D, означає, что K захи дузі CD. У умів Нашої МОДЕЛІ це еквівалентно тому, что K 'лежить между C' и D ', де C', K 'и D' - проекції точок C, K и D відповідно на абсолют. Щоб ввести Поняття рівності неевклідовіх відрізків в МОДЕЛІ Пуанкаре, візначають неєвклідова руху в Цій МОДЕЛІ. Неевклідовіх рухом назівається Перетворення L, Яке є композіцією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті и осьовіх сіметрій площіні E, осі якіх перпендікулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті и осьові сіметрії
Рисунок 1 площіні E, осі якіх перпендікулярні абсолюту, назівають неевклідовіх сіметріямі. Два неевклідовіх відрізкі назівають рівнімі, ЯКЩО один з них неевклідовіх рухом можна перевести в Другій.
2) Модель Клейна.
За площинах пріймається будь-якої коло за точки - точки належати цьом колі, за Прямі - Хорді - звичайна, з віключенням решт, оскількі розглядається Тільки внутрішність кола. За переміщення пріймаються Перетворення кола, что переводящем его в собі и Хорді - у Хорді. Відповідно, В«конгруентністьВ» назіваються фігурі, перекладні один в одного такими перетвореності. br/>В
Очевидно, что в межах певної Частини площіні (кола), як бі ця частина НЕ булу велика, можна провести через Дану точку З...
