ередовищ, при цьому речова частина пов'язана з показником заломлення, а уявна частина пов'язана з коефіцієнтом поглинання за інтенсивністю співвідношенням, де, - довжина хвилі світла у вакуумі. Розглянемо для простоти нормальне падіння плоскої світлової хвилі на одновимірну періодичну структуру.
У цьому випадку незалежно від поляризації світла рівняння для напруженості електричного поля всередині шару має вигляд:
- товщина шару, і - діелектричні проникності оточуючих шар однорідних середовищ, - період функції.
Малюнок 1? Шар середовища з одновимірної періодичністю
(1) де
.
Рівняння (1) називають рівнянням Хілла. Саме його ми й візьмемо в якості основного рівняння, що описує поширення світла в одновимірної періодичної середовищі.
В силу лінійності рівняння Хілла його спільне рішення являє собою суперпозицію двох незалежних приватних рішень і:
, (2)
де і - довільні постійні. Для періодичної середовища приватне рішення рівняння (13) відповідно до теореми Флоке можна представити у вигляді
(3)
де - так званий (взагалі кажучи, комплексний:) характеристичний показник, а - періодична функція з періодом. Рішення виду (15) дає для повного поля вираз
()
Це є просторово модулированная (періодична), неоднорідна () електромагнітна хвиля, що біжить (при) уздовж осі з фазовою швидкістю.
.2 Система Флоке-Блоха
Суть цього методу полягає в наступному. Відповідно до (3) представимо рішення рівняння (1) у вигляді:
, (4)
де - невідомі коефіцієнти, що визначають вид періодичної функції. Розкладемо також в ряд Фур'є періодичну діелектричну проникність середовища ( а - період структури):
, (5) Тут:
. ()
Підставляючи (16) і (17) в рівняння (13), виділяючи доданок з т= 0 і замінюючи в подвійних нескінченних сумах m і l індекс підсумовування l + т на l , a потім у сумі по т індекс підсумовування т на, отримаємо нескінченну систему рівнянь щодо коефіцієнтів, маємо:
, (6)
де,,, ...;- Символ Кронекера, а множник звертає в нуль доданок з т - l. Система рівнянь (18) є точною. Прирівнювання нуля її визначника дає дисперсійне рівняння для характеристичного показника, а невідомі коефіцієнти можна виразити через А 0 або методами ланцюгових дробів, або за допомогою відомих способів обчислення нескінченних визначників.
На практиці замість нескінченної системи рівнянь вирішується система рівнянь кінцевого порядку, отримана з (18) шляхом відкидання вищих гармонік. Порядок наближеною системи визначається необхідною точністю обчислень. Відзначимо, що за відсутності модуляції діелектричної проникності середовища, коли всі, рівняння (18) має відмінні від нуля рішення,, тільки в тому випадку, коли хвильовий вектор дорівнює:
, ..., ()
де відноситься до хвилі, що біжить в позитивному напрямку осі z , а - хвилі, що біжить в протилежному напрямку.
1.3 Метод інтегрального рівняння. Виведення рівняння. Доказ його еквівалентності системі Флоке-Блоха
