stify"> При знаходженні наближених аналітичних рішень рівняння (1) можна виходити з еквівалентного йому інтегрального рівняння:
, (7)
в якому періодичне обурення має нульове середнє значення, а - функції Гріна невозмущенного рівняння (13) с і з правою частиною, рівною. Згідно має вигляд:
, (8)
де, а. Для нескінченної періодичної структури у формулі (19) зручно перейти від інтегрування по всій осі до інтегрування по періоду а . Скориставшись співвідношеннями періодичності і, замість (7) отримаємо:
, (9) де
,. (10)
Тепер перейдемо до висновку і доказ. Даний матеріал взято зі статті Карпова і Столярова «розповсюдження і перетворення хвиль в середовищах з одновимірної періодичністю». Хвильове рівняння (1) за допомогою і властивостей можна записати у вигляді:
(11)
Якщо тепер уявити ліву частину у вигляді
(12)
То для функції Гріна отримаємо рівняння
(13)
розкладаються і в інтеграли Фур'є:
, (14)
Підставляючи ці вирази в (13) і інтегруючи потім отримувані інтеграли за допомогою теорії лишків за комплексним полюсів
(і), отримаємо
(15)
Тепер покажемо що з рівняння (7) виходить рівняння (9). Розіб'ємо інтеграл по від до на два інтеграла від 0 до і від до 0. Кожен з цих інтегралів розіб'ємо на нескінченні суми інтегралів по періоду.
де. Покажемо, що в силу періодичності і теореми Флоке, отримаємо:
Перше рівність виходить за допомогою заміни.
використовуючи заміну змінних інтегрування, маємо:
де
і.
Підставляючи останній вираз для у формулу (19), отримаємо для
,
де індекс підсумовування в (19) замінений на, а. Останній інтеграл з де обчислюється з урахуванням того, що
і
Підставляючи цей вираз в (21), отримаємо шукану формулу (10).
Тепер покажемо що інтегральне рівняння (9) з виразом для виду (10) приводить до системи Флоке-Блоха. Для цього потрібно представити формулу (9) розкладання в ряди Фур'є
(22)
Після скорочення на з урахуванням того, що
, отримаємо:
де. якщо зробити заміну індексів підсумовування, то отримаємо
.
Помноживши на і замінивши на на, тобто при отримаємо:
,
що співпадає з системою Флоке-Блоха.
.4 Теорія збурень
Розглянемо спочатку Борновскі наближення або так звану багатохвильові дифракцию Рамана-Ната .
При отриманні наближених аналітичних формул в Борновскі наближенні будемо виходити не з інтегрального рівняння (7) (або (9)) і його подальшого рішення методом ітерацій, а з еквівалентної йому системи рівнянь (6) динамічної теорії дифракції. Щоб побудувати наближене рішення системи (6) для в (4), будемо розглядати її праву частину як обурення. Це можливо, наприклад, при малій амплітуді модуляції діелектричної проникності, тобто при й. Вважаючи при цьому, що і вирішуючи систему рівнянь (6) методом послідовних наближень, ми отримаємо ряд теорії збурень для хар...
