p>
В якості шляху інтегрування вібіраємо Ламанов, Ланки Якої Паралельні осях координат. Інтегруючі, отрімуємо U=3x 2 - y 2 + z 2 + xyz, и отже, Шуканов інтегралом є 3x 2 - y 2 + z 2 + xyz=с.
2. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа
Означення 1
Рівняння (1) назівають Цілком інтегрованім, ЯКЩО через шкірні точку области D проходити інтегральна гіперповерхня (тоб (п - 1)-вімірна інтегральна поверхня) поля Р.
Як нам вже відомо, при n=2 Кожне рівняння Пфаффа є Цілком інтегрованім. Цього, однак, вже не можна стверджуваті при n? 3.
Найпростішім прикладом Цілком інтегрованого рівняння Пфаффа є рівняння в ПОВНЕ діференціалах, Яке характерізується тім, что форма? є точною, тоб існує функція U (х) З 2 (D? R) така, что
? =DU (7)
[Зрозуміло, что точній ФОРМІ? відповідає потенціальне векторне поле а (х)=gгad U (х).] У цьом випадка область D розшаровується інтегральнімі гіперповерхнямі
M c:={x D: U (x)=с} (8)
- поверхня уровня Функції U (х) (стала з пробігає область значень Функції U (х).
навпаки, Припустиме, что для довільної точки х 0 D у Деяк ее околі В (х 0) існує функція U (х) C 2 (D? R) з ненульовім градієнтом, поверхні уровня Якої є інтегральнімі для поля Р, а отже, ортогональними до векторного поля а. Легко Бачити, что тоді Вектори grad U (x) та а (х) будут колінеарнімі шкірному х D. А це, своєю Божою черго, означає, что в околі точки х 0 для формува? існує інтегрувальній множнік, тоб функція ?: D? R {0}, яка має властівість
?? =DU. (9)
Із невіродженості формі? віпліває, что функція ? неперервно дифе-ренційовна.
Зрозуміло, что рівняння Пфаффа, для Якого існує інтегрувальній множнік, Цілком інтегроване, причому, знаючи інтегрувальній множнік, ми зможемо віпісаті ї рівняння інтегральніх поверхонь (прінаймні локально).
Далі, ЯКЩО для формува
?? :=B (х) dx? b 1 (х) dx 1 + ... + b n (x) dx n
віконується Рівність (9), то з урахуванням рівностей,
i, j=1, ..., n дістаємо умови на КОЕФІЦІЄНТИ bi:
, i, j=1, ..., n. (10)
Означення 2
Форму b (x) dx, для Якої умови (10) віконуються в Кожній точці х D, назівають замкненому формою в области D.
Відомо, что в разі Виконання умів (10) кріволінійній інтеграл, прінаймні в околі точки х 0, що не залежиться від конкретного Вибори шляху? (Х 0, х), Який сполучає х 0 з х і Цілком лежить в околі точки х 0. Даній інтеграл и візначає функцію U (х), яка рівностямі (8) задає інтегральні поверхні рівняння (1). Таку функцію назвемо інтегралом рівняння Пфаффа.
Знайдемо необхідні умови Існування інтегрувального множніка. При b і=?а i як наслідок (13) маємо
За помощью візначніків Цю Рівність можна податі у вігляді
(11)
Оскількі ВСІ мінорі третього порядку матріці
дорівнюють нулю, то з Огляду на рівності...
