зультат випадкових подій і тим точніше, чим більше число аналізованих явищ. Це пов'язано з тим, що, незважаючи на випадковий характер подій, вони підпорядковуються певним закономірностям, що розглядаються в теорії ймовірностей.
Теорія ймовірностей вивчає випадкові події і базується на таких основних показниках. Сукупність безлічі однорідних подій випадкової величини х складає первинний статистичний матеріал. Сукупність, що містить найрізноманітніші варіанти масового явища, називають генеральною сукупністю або великою вибіркою N . Зазвичай вивчають лише частину генеральної сукупності, званої вибіркової сукупністю чи малої вибіркою N 1 . Ймовірністю р (х) події х називають відношення числа випадків N (х) які призводять до настання події х до загального числа можливих випадків N :
В
Теорія ймовірностей розглядає теоретичні розподілу випадкових величин та їх характеристики. p> Математична статистика займається способами обробки та аналізу емпіричних подій. Ці дві науки складають єдину математичну теорію масових випадкових процесів, широко застосовувану в наукових дослідженнях. p> У математичній статистикою велике значення має поняття про частоту подій, що представляє собою відношення числа випадків n ( x ), при яких мало місце подія до загального числа подій n :
В
При необмеженій зростанні числа подій частота y ( x ) прагне до ймовірності р (х). Частота характеризує ймовірність появ випадкової величини і являє собою ряд розподілу (рис.1), а плавна крива - закон розподілу F ( x ).
Ймовірність випадкової величини (події) - це кількісна оцінка можливості її появи. Достовірне подія має ймовірність р = 1 , неможлива подія р = 0 . Отже, для випадкової події
0 ≤ р (х) ≤ 1 , а сума ймовірностей всіх можливих значень:
В
У дослідженнях іноді недостатньо знати функцію розподілу. Необхідно ще мати її характеристики: середньоарифметичне і математичне очікування, дисперсію, розмах ряду розподілу.
Нехай серед n подій випадкова величина х 1 повторюється n 1 раз, величина х 2 - n < sub> 2 рази і т.д. Тоді середньоарифметичне значення х має вигляд:
В
Розмах можна використовувати для орієнтовної оцінки варіації ряду подій:
В
де: - максимальне і мінімальне значення вимірювальної величини або похибки. p> Якщо замість емпіричних частот y 1 ..... y n прийняти їх ймовірності
р 1 ..... р n , то це дасть важливу характеристику розподілу - математичне очікування:
В
Для безперервних випадкових величин математичне сподівання визначається інтегралом:
В
тобто воно дорівнює дійсного значення х д спостережуваних подій. Таким чином, якщо систематичні похибки вимірювань повністю виключені, то істинне значення вимірюваної величини дорівнює математичному очікуванню, а відповідна йому абсциса називається центром розподілу. Площа, розташована під кривою розподілу (рис.1), відповідна одиниці, тому що крива охоплює всі результати вимірювань. Для однієї і тієї ж площі можна побудувати велика кількість кривих розподілу, тобто вони можуть мати різне розсіяння. Мірою розсіювання (точності вимірювань) є дисперсія або середньоквадратичне відхилення. Таким чином, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини по відношенню до математичного сподівання і обчислюється за формулою:
В
Важливою характеристикою теоретичної кривої розподілу є середньоквадратичне відхилення:
В
Коефіцієнт варіації
В
застосовується для порівняння інтенсивності розсіювання в різних сукупностях, визначається у відносних одиницях ( k в < 1).
Основним завданням статистики є підбір теоретичних кривих по наявному емпіричному закону розподілу. Нехай в результаті n вимірювань випадкової величини отримано ряд її значень х 1 , х 2 , х 3 , ...., х n . При первинній обробці таких рядів їх спочатку групують в інтервали та встановлюють для кожного з них частоти і. За значеннями х i і будують ступінчасту гістограму частот і обчислюють характеристики емпіричної кривої розподілу. Основними характеристиками емпіричного розподілу є:
В
середньоарифметичне значення:
В В
дисперсія:
В В
Значення цих величин відповідають величинам і теоретичного розподілу.
Рівн...
