атковому умови
(3.5)
Індекс коефіцієнта крайової задачі Рімана (3.4) називається індексом сингулярного інтегрального рівняння (3.2).
Нормальним випадком рівняння (3.2) називається випадок, коли коефіцієнт відповідної крайової задачі Рімана не спілкується на контурі в нуль або нескінченність. Винятковим випадком сингулярного інтегрального рівняння називається випадок, коли відповідний коефіцієнт звертається в нуль або нескінченність на контурі. Неважко бачити, що в нормальному випадку на.
Теорема 3.1. Якщо, то однорідне рівняння має лінійно незалежних рішень. Якщо, то однорідне рівняння має тільки тривіальне (нульове) рішення. Якщо, то неоднорідне рівняння вирішуваний при будь правій частині і його загальне рішення залежить від довільних постійних. Якщо, то неоднорідне рівняння вирішуваний тоді і тільки тоді, коли його права частина задовольняє умови
Де
Розглянемо тепер загальне С.І..
(3.6)
В даний час невідомі методи вирішення повних сингулярних інтегральних рівнянь виду (3.6) в замкнутій формі. Результатом цього дослідження є теореми Нетер.
Теорема I. Число рішень сингулярного інтегрального рівняння (3.6) звичайно.
Теорема II. Необхідною і достатньою умовою разрешимости с.і.у. (3.6) є виконання рівності
,
де,? повна система лінійно незалежних рішень союзного однорідного рівняння, де
Теорема III. Різниця числа лінійно незалежних рішень особливого рівняння і числа лінійно незалежних рішень союзного рівняння залежить лише від характеристичної частині оператора і дорівнює її індексом, тобто.
. 1 Огляд наближених методів вирішення сингулярних інтегральних рівнянь
Першою роботою по наближеним методам вирішення с.і.у. була стаття М.А. Лаврентьєва, в якій були досліджені дві наближених методу рішення с.і.у. першого роду
(3.7)
Рівняннями виду (3.7) описується обтікання крила кінцевого розмаху повітряним потоком.
У роботах Н.Вінера і Е.Хопфа був запропонований принципово новий метод розв'язання деяких класів рівнянь в згортках.
Виділений ними клас рівнянь в згортках називається зараз рівняннями Вінера-Хопфа.
Слідом за рівнянням (3.7) були досліджені наближені методи рішення рівнянь видів
(3.8)
(3.9)
Тут одиничне коло з центром у початку координат, а коефіцієнти і праві частини рівнянь належить класу функцій Гельдера.
У циклі робіт І.В. Бойкова були досліджені наближені методи рішення сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь, систем сингулярних інтегральних рівнянь і систем с.і.-д.у. Були розглянуті С.І.-д.у.
(3.10)
При граничних умовах
(3.11)
і при даних Коші.
3.2 Сингулярні інтегральні рівняння та рівняння типу згортки з монотонною нелінійністю
Приклад 3.1. Нелінійні рівняння з ядром Гільберта:
(3.12)
(3.13)
Мають єдине рішення в гільбертовому просторі.
У 1977 році Г.М. Магомедов розглянув нелінійні сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші виду
(3.14)
У просторах Лебега.
У 1979 році вийшла робота А.І. Гусейнова і Х.Ш.Мухтарова, в якій було доведено, що рівняння виду
(3.15)
Має рішення в просторі Лебега зі статечним вагою
У 1980 році, наводиться в монографії лише один результат, що стосується рівняння (3.13), так як спроба використання формули Пуанкаре-Бертрана для відомості рівняння виду (3.12) до рівняння виду (3.13) не привела до бажаних результатами.
У 1979-1981 роках були опубліковані статті автора, в яких розглянуті рівняння більш загального вигляду (3.16), (3.18) і (3.20):
(3.16)
в просторі, з тим же вагою, де
і (3.17)
(3.18)
в просторі з тією ж вагою, але за умови, що
і при і при; (3.19)
