ані з найпростішими і водночас найбільш важливими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії в цілому, оскільки вони описують те загальне, що є в процедурах і прийомах рішення, що відносяться до окремих класів рівнянь, нерівностей, систем. У свою чергу, ці загальні поняття і методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, равносильность, логічне слідування, які також повинні бути розкриті в лінії рівнянь
в) Для лінії рівнянь характерна спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики
Ця лінія тісно пов'язана з числовою лінією. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, - це ідея послідовного розширення числової системи. Всі числові області, що розглядаються в шкільній алгебри і початків аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь та їх систем. Області ірраціональних і логарифмічних виразів пов'язані відповідно з рівняннями хk=b (k - натуральне число, більше 1) і ax=b.
Лінія рівнянь тісно пов'язана також і з функціональної лінією. Одна з найважливіших таких зв'язків - додатки методів, що розробляються в лінії рівнянь, до дослідження функції (наприклад, до завдань на знаходження області визначення деяких функцій, їх коренів, проміжків знакопостоянства і т. Д.). З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь і нерівностей, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні уявлення служать основою залучення графічної наочності до вирішення і дослідженню рівнянь, нерівностей та їх систем.
. Про трактуванні поняття рівняння.
Поняття рівняння відноситься до найважливіших общематематических поняттям. Саме тому важко запропонувати його визначення, одночасно і суворе з формальної точки зору, і доступне для учнів, що приступають до оволодіння шкільним курсом алгебри.
Логіко-математичне визначення рівняння можна привести в такій формі: нехай на безлічі М зафіксований набір алгебраїчних операцій, х - змінна на М; тоді рівнянням на безлічі М відносно х називається предикат виду а (х)=b (х), де а (х) і b (х) -Терм відносно заданих операцій, в запис яких входить символ х. Аналогічно визначається рівняння від двох змінних і т. Д.
Прийнятим в логіці термінам «терм» і «предикат» відповідають терміни шкільної математики «вираз» і «пропозиція зі змінною». Тому найбільш близько до наведеного формального визначення наступне визначення: «Пропозиція зі змінною, що має вигляд рівності між двома виразами з цієї змінної, називається рівнянням»
Аналізуючи наведене математичне визначення рівняння, можна виділити в ньому два компоненти. Перший полягає в тому, що рівняння - це особливого роду предикат. Другий уточнює, якого саме роду: це рівність, що з'єднує два терми, причому терми також мають певний спеціальний вид. При вивченні матеріалу, що відноситься до лінії рівнянь і нерівностей, обидва компоненти відіграють значну роль.
Перший - смисловий компонент, важливий насамперед для з'ясування поняття кореня рівняння. Крім того, смисловий компонент майже завжди використовується при обгрунтуванні коректності того чи іншого перетворення рівняння.
Другий компонент відноситься до формальних особливостям записи, що зображає рівняння. Назвемо цей компонент знаковим. Він важливий у випадках, коли запис рівняння піддається різним перетворенням: найчастіше такі перетворення виробляються чисто механічно, без звернення до їх змістом.
Можливість використання в шкільному навчанні підходу до поняття рівняння, що включає явно згадка про пропозицію зі змінною, залежить від присутності цього терміна і термінів «істина», «брехня» в обов'язковому матеріалі курсу математики. Якщо їх немає, то привести подібне визначення неможливо. У цьому випадку смисловий компонент поняття рівняння переходить у визначення іншого поняття, тісно пов'язаного з поняттям рівняння, - кореня рівняння. Виходить система з двох термінів: термін «рівняння» несе в собі ознаки знакового компонента, а термін «корінь рівняння» враховує смисловий компонент. Таке визначення наведено, наприклад, в підручнику Колмогорова А. Н.
Часто, особливо на початку систематичного курсу алгебри, поняття рівняння вводиться за допомогою виділення його залгебраїчного методу вирішення завдань. У цьому випадку незалежно від того, який текст визначення, істотним виявляється підхід до поняття рівняння, при якому воно являє непряму форму завдання деякого невідомого числа, що має відповідно до сюжету завдання конкретну інтерпретацію. Наприклад, поняття рівняння вводиться на матеріалі текстовій завдання: «Конверт з новорічною листівкою стоїть 170сум. Кон...
