ощення:
= gt;
= gt;
Отримано систему трьох лінійних рівнянь з двома невідомими. Якщо прямі перетинаються, то система обов'язково сумісна і має єдине рішення. З першого рівняння висловимо і підставимо його в друге і третє рівняння:
= gt; = gt;
Тоді:
Підставами знайдене значення параметра в рівняння:
= gt; = gt;
Для перевірки підставимо знайдене значення параметра в рівняння:
= gt; = gt; = gt;
Отримано ті ж самі координати, що й потрібно перевірити.
Відповідь: M (8; - 8; - 8).
Завдання 7
З'ясувати взаємне розташування прямих
Рішення:
1) Знаходимо напрямні вектори і точки, що належать даними прямим. Для знаходження точок зручно використовувати нульові значення параметрів: 2) Знайдемо вектор: 3) Обчислимо мішаний добуток векторів:
Таким чином, прямі можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися. 4) Досліджуємо напрямні вектори на коллинеарность:, отже, напрямні вектори НЕ колінеарні, і прямі перетинаються. Відповідь:
Завдання 8
Довести, що прямі схрещуються.
Рішення:
Знайдемо точки і напрямні вектори даних прямих:
Знайдемо вектор:
Обчислимо мішаний добуток векторів lt; # 68 src= doc_zip526.jpg / gt;
Таким чином, вектори НЕ компланарні, а значить, прямі схрещуються, що потрібно було довести.
Завдання 9
У правильній чотирикутної піраміді ABCDS (з вершиною S) точка M - середина ребра SC. Побудуйте переріз піраміди площиною ABM.
Рішення:
Перетин зображено на рис. 10.
Рис. 10. До задачі
Найголовніше тут - з'ясувати, з якої прямий січна площина ABM перетинає площину SCD. Для цього зауважимо, що AB? CD, і за ознакою паралельності прямої і площини маємо AB? SCD. А з теореми слід тоді, що пряма MN перетину площин ABM і SCD паралельна прямій AB (і, стало бути, прямий CD).
Таким чином, MN - середня лінія трикутника SCD. Перетином піраміди буде трапеція ABMN. Відповідь: трапеція ABMN.
Завдання 10
Доведіть, що в правильній трикутній піраміді перехресні ребра перпендикулярні.
Рішення:
Нехай ABCD - правильна трикутна піраміда (рис. 10). Доведемо, наприклад, що AD? BC.
Нехай точка M - середина ребра BC. Розглянемо площину ADM. Ясно, що висота DH нашої піраміди лежить у цій площині (оскільки H лежить на медіані AM).
Доведемо, що пряма BC перпендикулярна площині ADM. Для цього нам потрібно пред'явити дві пересічні прямі, що лежать в площині ADM і перпендикулярні BC. Які ж це прямі?
Рис. 11. До задачі
По-перше, це пряма DH. Справді, будучи висотою піраміди, DH перпендикулярна площині ABC. За визначенням це означає, що DH перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині ABC - зокрема, прямий BC.
По-друге, це пряма AM. Дійсно, будучи медианой рівностороннього трикутника ABC, відрізок AM є його висотою і тому перпендикулярний BC.
Отже, ми переконалися, що BC? DH і BC? AM. За ознакою перпендикулярності прямої і площини ми укладаємо, що BC? ADM. Стало бути, BC перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині ADM - зокрема, прямий AD. Це ми і хотіли довести.
Зверніть увагу, яка схема міркувань реалізована в даній задачі. Припустимо, ми хочемо довести, що пряма l перпендикулярна прямий m. Діємо таким чином:
. Беремо відповідну площину р, в якій лежить пряма l.
. У площині р знаходимо дві пересічні прямі a і b, такі, що m? a і m? b.
. За ознакою перпендикулярності прямої і площини робимо висновок, що m? р.
. За визначенням перпендикулярності прямої і площини укладаємо, що пряма m перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині р. Зокрема, m? l, що й потрібно.
Завдання 11
Знайти точку перетину прямої і площини 2x-y + z + 4=0.
Рішення:
Розглянемо взаємне розташування прямої і площини:
· 2 + 2 · (- 1) + (- 1) · 1=3? 0, значить пряма і площину перетинається. Перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді:
Підставами ці рівняння ...
