не рівняння, зауважимо, що в обидві дробу входить одне і те ж вираз х 2 + 2х. Тому введемо нове невідоме у, поклавши, що у = х 2 + 2х. Тоді рівняння прийме вигляд
12/у - 3/(у - 2) = 1 або (у 2 - 11у + 24)/(у (у - 2)) = 0, звідки y 1 = 3; y 2 = 8. Залишилося вирішити рівняння х 2 + 2х = 3 (його коріння х 1 = 1, х 2 = -3) і х 2 + 2х = 8 (його коріння х < sub> 3 = 2, х 4 = -4). p> Застосований метод називається методом введення нових невідомих, і його корисно застосовувати, коли невідоме входить у рівняння усюди у вигляді однієї і тієї ж комбінації (особливо якщо ця комбінація містить ступеня невідомого вище першої).
Приклад. Вирішимо систему рівнянь
В
2/г + 3/у = 8,5
/г - 2/у = 1.
Рішення. p> Позначимо 1/г через U, а 1/у через V. p> Тоді система прийме вигляд
2U + 3V = 8,5
U - 2V = 1,
тобто вийде система двох лінійних рівнянь з двома невідомими U і V. З першого рівняння висловлюємо U через V: U = 4 - 3V/2, і підставляючи в друге: 5 (4 - 3V/2)-2V = 1, звідки V = 2. Тепер знаходимо U = 1 і вирішуємо рівняння 1/x = 1, 1/y = 2. p> Відповідь: x = 1, y = 0,5. p> Однорідні рівняння.
Приклад Вирішимо систему рівнянь
8х 2 - 6ху + у2 = 0,
х 2 + у 2 = 5.
Рішення. зауважимо, що для вирішення системи виконується умова у В№ 0. У самому справі, з першого рівняння випливає, що якщо у = 0, то і х = 0, а числа х = 0 і у = 0 не задовольняють другому рівнянню системи. Розділимо перше рівняння на у 2 . p> Вийде рівняння
8х 2/ у 2 - 6ху/у 2 + у 2/ у 2 = 0 або
8х 2/ у 2 - 6х/у + 1 = 0. br/>
Введемо допоміжне невідоме U = Х/у. p> Рівняння прийме вигляд
8U 2 - 6U + 1 = 0.
Це квадратне рівняння, що має корені U 1 = 0,5; U 2 = 0,25. Таким чином, з першого рівняння ми отримуємо що або x/y = 1/2, або x/y = 1/4. Залишилось підставити вираження у = 2х і у = 4х (розглянувши обидва випадки) в друге рівняння системи. У першому випадку виходить рівняння 5х 2 = 5, звідки х 1 = 1, х 2 = - 1; відповідно у 1 = 2, у 2 = - 2. p> У другому випадку виходить уравненіе17х 2 = 5, звідки х 3 = Г– (5/17), x 4 =-Г– (5/17); відповідно y 3 = 4Г– (5/17), y 4 = - 4Г– (5/17). p> Перше рівняння системи нам вдалося представити як рівняння щодо x/y завдяки тому, що ступінь всіх членів, що входять складовими в це рівняння (8x 2 , 6xy, y 2 ), одна і та ж - вона дорівнює двом. Тому після розподілу на y 2 кожний доданок виразилося через x/y. p> Многочлен від двох змінних x і y такий, що ступінь кожного його члена дорівнює одному й тому ж числу k, називається однорідним многочленом ступеня k.
Рівняння виду P (x, y) = 0 називається однорідним рівнянням ступеня k щодо x і y, якщо P (x, y) - однорідний багаточлен ступеня k. Однорідне рівняння щодо x і y поділом на y k ( якщо y = 0 не є коренем рівняння) перетворюється в рівняння щодо невідомого x/y. Це властивість однорідної рівняння допомагає вирішувати багато завдань. p> Рішення симетричних систем рівнянь.
Нагадаємо, що многочлен P (x, y) називається симетричним, якщо P (x, y) = P (y, x). p> При вирішенні систем рівнянь виду
P 1 (X, y) = 0,
P 2 (x, y) = 0,
де P 1 (x, y) і P 2 (x, y) - симметрические многочлени, корисною виявляється така заміна невідомих: x + y = U, xy = V. Нагадаємо, що будь симметрический многочлен P (x, y) можна представити як вираз від U і V.
Приклад Вирішити систему рівнянь
x 2 + Xy + y 2 = 49,
x + y + xy = 23.
Рішення. Зауважимо, що:
x 2 + xy + Y 2 = x 2 + 2xy + y 2 - x
y = (x + y) 2 - xy.
Зробимо заміну невідомих: x + y = U, xy = V. p> Система прийме вигляд:
U 2 - V = 49,
U + V = 23.
Склавши ці рівняння, одержимо рівняння U 2 + U - 72 = 0 з корінням U 1 = 8, U 2 = -9. Відповідно V 1 = 15, V 2 = 32. Залишається вирішити системи рівнянь:
x + Y = 8, xy = 15,
x + Y = - 9, xy = 32. br/>
Система x + y = 8, має розв'язку:
x 1 = 3, y 1 = 5; x 2 = 5,
y 2 = 3.xy = 15. p> Система x...
