а відомих і широко застосовуваних чисельних методу. Це метод Ньютона і метод простих ітерацій. p> Метод Ньютона. Цей метод має швидкої збіжністю і порівняно хорошою точністю обчислень. У випадку одного рівняння F (x) = 0 алгоритм методу був легко отриманий шляхом запису рівняння дотичної до кривої y = F (x). В основі методу ньютона для системи рівнянь лежить використання розкладання функцій Fi (x1, x2, ... xn) в ряд Тейлора, причому члени, що містять другі (і більш високих порядків) похідні, відкидаються.
Нехай наближені значення невідомих системи рівнянь
F1 (x1, x2, ... xn) = 0,
F2 (x1, x2, ... xn) = 0,
В
................ (1)
Fn (x1, x2, ... xn) = 0,
(наприклад, отримані на попередній ітерації) рівні відповідно a1, a2, ... an. Завдання полягає в знаходженні збільшень (Поправок) до цих значень Dx1, Dx2, ...., Dxn, завдяки яким рішення системи (1) запишеться у вигляді:
xi = ai + Dx1, x2 = a2 + Dx2, ..., xn, = an + Dxn. (2)
Проведемо розкладання лівих частин рівнянь (1) в ряд Тейлора, обмежуючись лише лінійними членами щодо збільшень:
F1 (x1, x2, ... xn) В»F1 (a1, ... an) +
F2 (x1, x2, ... xn) В»F2 (a1, ... an) +
..............................................
Fn (x1, x2, ... xn) В»Fn (a1, ... an) +.
Оскільки відповідно до (1) ліві частини цих виразів повинні звертатися в нуль, то прирівняємо нулю і праві частини. Отримаємо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо збільшень:
=-F1
=-F2 (2)
............................
=-Fn
Значення F1, F2, ..., Fn і їхні похідні обчислюються при x1 = a1, x2 = a2, ... xn = an.
Определителем системи (2) є якобіан:
J =
Для існування єдиного рішення системи (2) він повинен бути відмінним від нуля на кожній ітерації.
Таким чином, ітераційний процес вирішення системи рівнянь (1) методом Ньютона полягає у визначенні збільшень Dx1, Dx2, ... Dxn, до значень невідомих на кожній ітерації. Рахунок припиняється, якщо все прирощення стають малими за абсолютною величиною: max | Dxi |
i
Ньютона також важливий вибір початкового наближення для забезпечення гарної збіжності. Збіжність погіршується зі збільшенням числа рівнянь системи. p> Як приклад розглянемо використання методу Ньютона для вирішення системи двох рівнянь
F1 (x, y) = 0, (3)
F2 (x, y) = 0.
Нехай наближені значення невідомих дорівнюють a, b. Припустимо, що якобиан системи (3) при x = a; y = b відрізняється від нуля, тобто:
В
J = В№ 0.
Тоді наступні наближення невідомих можна апісать у вигляді
x = a-(F1
Величини, що стоять у правій частині, обчислюються при x = a, y = b.
При програмуванні даного методу в якості вихідних даних задаються початкові наближення невідомих a, b, похибки e. Якщо ітерації зійдуться, то виводяться значення x, y; в іншому ...
