an>
Якщо F (x) має розрив в точці х, то ймовірність P {X = x} дорівнюватиме стрибка функції в цій точці. Таким чином, ймовірність появи будь-якого можливого значення для безперервної величини дорівнює нулю. Вираз P {X = x} = 0 слід розуміти як межа ймовірності попадання випадкової величини в нескінченно малу околиця точки х при
P {? ? ?}, P {? ? X
рівні, якщо Х - неперервна випадкова величина.
Для дискретних величин ці ймовірності неоднакові в тому випадку, коли межі інтервалу ? і (або) ? збігаються з можливими значеннями випадкової величин. Для дискретної випадкової величини необхідно строго враховувати тип нерівності у формулі P { ? ? X
Властивості функції розподілу
Будь функція розподілу має такі властивості:
Вона не убуває: якщо , то ;
Існують межі і ;
Вона в будь-якій точці неперервна зліва:
В
Доказ властивості (1). Для будь-яких чисел подія тягне подія , тобто . Але ймовірність - монотонна функція подій, тому
В
Для доказу інших властивостей нам знадобиться властивість безперервності ймовірнісної міри.
Доказ властивості (2). Зауважимо спочатку, що існування меж у властивостях (2), (3) випливає з монотонності та обмеженості функції . Залишається лише довести рівності
, і .
Для цього в кожному випадку достатньо знайти межу з якої-небудь підпослідовності , так як існування межі тягне збіг всіх часткових меж.
Доведемо, що при . Розглянемо вкладену убуваючу послідовність подій :
В
Перетин всіх цих подій складається з тих і тільки тих , для яких менше бу...
