рія математики знає чимало прикладів, коли недосконалість доказових процедур призводило до помилкових результатів.
З кінця XIX в. в логіці формується поняття формального доказу, який замінює собою старе. Воно характеризується зведенням до мінімуму посилань на інтуїтивну очевидність при здійсненні докази і зростанням ролі логічних критеріїв. При доведенні використовуються тільки ті твердження, які необхідні для його проведення, решта усуваються. За допомогою логічних засобів виключається можливість присутності невиявлених посилок. Формальне доказ широко використовується в аксіоматичних теоріях, тобто таких, в яких з невеликого числа початкових істинних тверджень (аксіом) виводяться всі інші істинні твердження цієї теорії. Суть такого висновку на основі формального докази полягає в наступному: спочатку застосовують правила виведення до аксіом і отримують з них нові твердження, безпосередньо виводяться з аксіом. Потім ті ж правила застосовують до нових твердженнями або спільно до нових твердженнями і аксіомам і отримують інші твердження і т.д. Якщо після кінцевого числа застосувань правил виведення (їх називають кроками докази) приходять до даного твердженням, то говорять, що воно формально доведено. Формальним таке доказ називається тому, що на час воно відволікається від конкретного значення беруть участь у доведенні положень, тобто від того, що в них затверджується. Це дає можливість широко застосовувати спеціальні символи - штучна мова, - Якими замінюють окремі положення докази. Воно стає простіше, чіткіше проявляється його логічна структура, воно легше піддається контролю.
В даний час формальний доказ широко застосовується в різних розділах сучасної логіки і математики. Вони є необхідним методом аналізу в тих випадках, коли потрібно виявити структуру умовиводів там, де були використані неформальні докази.
2. Логічна структура докази
У структурі формального і неформального докази виділяють наступні елементи: теза, аргументи і форму (Демонстрацію). p> Тезою докази називають те твердження, яке підлягає доведенню. У формальних доказах, а також у деяких науках, що використовують дедуктивні процедури, доказувана твердження іменують теоремою. Теза є логічно центральним елементом у доказі. Аргументи - це положення, які використовуються для доказу даної тези. Оскільки аргументи суть не істинні твердження, які визначають істинність тези, їх називають іноді підставами докази. У формальних доказах вони іменуються посилками.
В якості аргументів можуть бути: затвердження, істинність яких доведена раніше, - такими є теореми, закони та інші наукові положення; аксіоми; визначення та твердження, що містять висловлювання про факти. При доведенні даної тези може бути використано довільне, але кінцеве число аргументів. Вони можуть належати до твердженнями будь-якого типу. Так, наприклад, докази в геометрії грунтуються на аксіомах, визначеннях і допоміжних твердженнях, доведених раніше. <...
