и проектування. Наша мета - побудувати третю площину, перетин якої із згаданою прямий (лінією перетину дотичних площин) давало б крапку в просторі R3 таку, проекція якої на площину Оху могла б виявитися ближче до х *, ніж. p> Щоб здійснити поставлену мету, зафіксуємо в R3 дві неспівпадаючі між собою і з точки - полюси і. Через зазначені три точки можна провести єдину площину (яка тут грає роль прямої, що проходить через полюс і точку (хк; 0) у одновимірної ситуації). Взявши поточну точку М (х; у; z) і утворивши поточний вектор цій третій площині, можна задати її умовою компланарності трьох векторів-і (що служить аналогом другого з умов (3.5.1)). p> Запишемо сукупність всіх трьох описаних засобами векторної алгебри площин у координатної формі. Маємо:
В
Перші дві координати вектора (x; y; z), службовця рішенням отриманої системи рівнянь, вважаємо шуканим наближенням (). Ввівши поправки
, (3.5.5)
цю систему перетворюємо в систему рівнянь щодо невідомих і z:
(3.5.6)
Для виключення допоміжної змінної z з лінійної системи (3.5.6) висловимо її з третього рівняння. Позначивши
,, (3.5.7)
розкриваємо фігурує в (3.5.6) визначник за елементами першого рядка:
В
Звідси знаходимо вираз
(3.5.8)
підставляючи яке в перші два рівняння системи (3.5.6), приходимо до двовимірної лінійної системі
(3.5.9)
Фактично ця система разом з позначеннями (3.5.7) і визначає двовимірний полюсний метод Ньютона для нелінійної системи. Надя їх неї поправки, відповідно до равенствами (3.5.5) отримуємо чергове наближення:
,.
слушні перетворення полюсного методу Ньютона, тобто перехід від розмірності 2 до довільної розмірності, здійснюємо формально на основі попереднього побудови.
Нехай задана нелінійна система, функції (що утворюють вектор) в точці, можна описати матрично-векторного рівнянням
, (3.5.10)
де - n-мірний вектор, кожної компонентою якого служить допоміжна змінна, що входить до рівняння гіперповерхонь.
Задамо n полюсів (i = 1,2, ..., n) так, щоб вони не належали одній гіперплощини простору. Через всі ці полюси і точку (), яка визначається відомим наближенням до вирішення системи, проводимо гіперплощина, рівняння якої аналогічно двовимірному нагоди задаємо умовою рівність нулю визначника (n +1) порядку:
. (3.5.11)
Векторно-матричне рівняння (3.5.10) і скалярний рівняння (3.5.11), в принципі, вже визначають векторний n-полюсний метод Ньютона для побудови наближеної до розв'язання системи. Щоб записати відповідну лінійну систему відносно поправок
(3.5.12)
(аналогічну схемі (3.5.9) двовимірного випадку), введемо такі позначення. Покладемо
,,
і утворюємо квадратну (n +1)-мірну матрицю наступної структури:
