я (VI) - (IX) - параболічного типу.
Розглянемо рівняння іншого порядку
, (1.9)
де. Множини крапок площини, координат та якіх задовольняють рівнянню (1.9), утворена Деяк фігуру. Покажемо, то багато рівняння візначає одну з фігур (I) - (IX). Для цього Знайдемо рівняння фігурі (1.9) у Системі координат (), де Вектори ї Отримані з векторів ї Ортогональним перетворенням з матрицею переходу Т
В
тоб
.
При цьом формули Перетворення координат крапок будут мати вигляд
.
Підставівші ці значення х и у в рівняння (1.9), одержимо рівняння даної фігурі в Системі координат ().
Сума дерло трьох членів
(1.10)
є квадратичною формою двох змінніх, котру ми будемо назіваті квадратичною формою, что відповідає рівнянню (1.9). p> Матриця цієї форми має вигляд
.
Нехай Арбітражний процес Перетворення приводити квадратичної форми (1.10) до канонічного вигляду (як відомо, таке Перетворення всегда існує)
,
де - корінь характеристичностью рівняння матріці А. Тоді рівняння (11) Прикмета вид
(1.11)
де,.
Можливі наступні випадка:
). Тому що Визначник матріці квадратічної формі не міняється при ортогональному перетворенні, то, тоб ї мают однакові знаки. p> У рівнянні (1.11) доповнюємо до полного квадрата члени, что містять й, а такоже члени, что містять й. После цього рівняння можна записатися так:
. (1.12)
Здійснімо паралельний перенесення системи координат () на вектор, координатами Якого в Системі координат () є й. Тоді рівняння (1.12) у Системі координат () Прийма вид
(1.13)
Если, то рівняння (1.13) приводитися до вигляду (I) або (III). Если - до виду (II). p>), отже, І, тоб й - різніх знаків.
Як ї у первом випадка, рівняння (1.11) можна привести до вигляду (1.13). У цьом випадка, ЯКЩО, рівняння (1.13) приводитися до виду (IV), ЯКЩО - до виду (V). p>), отже, І, тоб ї дорівнює нулю.
Будемо вважаті, что,. Доповнюючі в рівнянні (1.11) члени, что містять ї, до полного квадрата, одержимо
. (1.14)
Если, то рівняння (1.14) можна записатися у вігляді
. (1.15)
Здійснімо паралельний перенесення системи координат () на вектор. Рівняння (1.15) у Системі () Прийма вигляд:
.
Це рівняння зводіться до виду (VI). p> Если, то рівняння (115) має вигляд:
.
Здійснівші паралельний перенесення системи координат () на вектор, одержимо в Системі координат () рівняння
.
Це рівняння при приводитися до виду (VII) або (IX), при - до виду (VIII).
Отже, ЯКЩО, ті рівняння (1.9) візначає фігуру еліптічного типом; ЯКЩО - гіперболічного; ЯКЩО - параболічного типу.
Можна Сказати, что існує декартова прямокут...
