на система координат, у якій рівняння (1.9) пріймає канонічній вигляд. Щоб найти Цю систему координат, поступаємо Наступний чином:
1) знаходимо Ортогональним Перетворення, что приводити квадратична форма, что відповідає даним рівнянню, до канонічного увазі;
2) за цьом перетворенню знаходимо Головні напрямки фігурі, тоб вектор - ортонормовані Власні Вектори матріці квадратічної форми, что відповідає даним рівнянню;
) знаходимо рівняння даної фігурі в Системі координат ();
) в отриманий рівнянні Робимо ДОПОВНЕННЯ до полного квадратів так, Як це було зазначено Вище. Знаходимо координати крапки, что є качаном шуканої системи координат. p> У знайденій Системі координат () рівняння даної фігурі має канонічній вигляд.
.2.2 Спрощення рівнянь фігур іншого порядку в просторі
Нехай поверхні іншого порядку задана у звичайний для аналітичної геометрії віді. Перехід до нового декартовій Системі з тим же качаном зводіться до заміні змінніх
(1.16)
з ортогональними матрицями переходу Т. При підстановці ціх вираженною у рівняння поверхні в загально віді
.
група членів інший щабель ї група членів Першого ступенів перетворяться Незалежності один від одного. Если стежіті спочатку Тільки за Груп членів інший щабель (квадратичною формою), то (на підставі п. Квадратічні форми) одержуємо, что всегда можна вібрато систему координат так, что ця група членів прідбає В«діагональній видВ» и того всі рівняння после Перетворення буде мати вигляд
(1.17)
де - Корні рівняння.
.
а - деякі Нові КОЕФІЦІЄНТИ при членах Першого ступенів, Які Самі Прокуратура: после підстановкі (1.16).
Подалі Дослідження Йде по-різному, перелогових від знаків характеристичностью корінь. Нехай, Наприклад, УСІ мают однаково знак: тоді можна вважаті, что смороду Позитивні, ТОМУ ЩО в осоружному випадка можна у Всього рівняння (1.17) перемініті знак. За помощью ДОПОВНЕННЯ до полного квадрата ї Наступний паралельного переносу, можна від (1.17) перейти до рівняння
,
тоб
.
перелогових від те, чи буде, або, Вийди еліпсоїд, уявні еліпсоїд або крапка.
Аналогічно виходе, что ЯКЩО Із чисел два мают однаково знак, а Третє - протилежних, то рівняння (1.17) представляет гіперболоїд (однопорожнінній або двопорожнінній) або конус. Если Із чисел Рівно Одне дорівнює нулю, Наприклад,, а відмінно від нуля, то виходе еліптічній або гіперболічній параболоїд. Можна перевіріті, что у всех других випадка Прокуратура: ціліндрі або особливі випадка (удавана поверхню, вироджених в пряму лінію, розпадання на Парі площинах). p> Аналізуючі Вище сказань, чи можемо сделать Висновок, что при Можливі наступні випадка:
) - еліпсоїд;
) - однопорожнінній гіперболоїд;
) - двупорожнінній гіперболоїд;
) - В«порожня множиниВ» крап...
