и перетворення координат точок будуть мати вигляд
В
Підставивши ці значення х і у в рівняння (11), отримаємо рівняння даної фігури в системі координат ().
Сума перших трьох членів
(12)
є квадратичною формою двох змінних , яку ми будемо називати квадратичною формою, відповідної рівнянням (11).
Матриця цієї форми має вигляд
В
Нехай вбрання перетворення призводить квадратичну форму (12) до канонічного вигляду (як відомо, таке перетворення завжди існує)
,
де - коріння характеристичного рівняння матриці А. Тоді рівняння (11) прийме вигляд
(13)
де ,
. Можливі такі випадки. . Так як визначник матриці квадратичної форми не змінюється при ортогональному перетворенні, то , тобто і мають однакові знаки.
У рівнянні (13) доповнюємо до повного квадрата члени, що містять і , а також члени, що містять і . Після цього рівняння можна записати так:
(14)
Здійснимо паралельний перенесення системи координат () на вектор , координатами якого в системі координат ( ) є і . Тоді рівняння (14) у системі координат ( ) прийме вигляд
(15)
Якщо , то рівняння (15) приводиться до вигляду (I) або (III). Якщо - до виду (II).
. , отже, і , тобто і - різних знаків.
Як і в першому випадку, рівняння (13) можна привести до вигляду (15). У цьому випадку, якщо , рівняння (15) приводиться до виду (IV), якщо - до виду (V).
. , отже, і , тобто і дорівнює нулю.
Будемо вважати...
