мо вважати, а =6400 км, b =7000 км. Неважко показати, що для обраної моделі геомагнітного поля рівняння силової лінії, що проходить через точку з координатами ( a, ? a ), має вигляд r=a (sin ? ) 2 / (sin ? a ) 2 . Попередня, простіша модель [4], давала залежність r=a sin ? / sin ? a . Координата h вздовж силової лінії геомагнітного поля в розглянутому випадку визначається за формулою:
(Порівняймо для попередньої моделі, що істотно спрощувало рішення задачі.) Задовольняючи граничним умовам при ? = ? b (h=h 0 ) і ? = ? - ? b (h=h 0 + h 1 ), з рівнянь (8) і (9) отримаємо:
(11)
З рівнянь (11) знайдемо дисперсійне рівняння для власних частот іоносферних-магнітосферного альвеновской резонатора (Імар) у формі
(12)
Тут c A 1=? / k 1 - альвеновская швидкість в магнітосфері, c A =? / k - альвеновская швидкість в іоносфері. Рішення рівнянь (8), (9), (12) - будуть прийняті нами в якості вихідного наближення. Очевидно, що при | M | ?? рівняння (12) має дві незалежних серії коренів. Перша знаходиться з рівняння і визначає власні частоти магнітосферного альвеновской резонатора (МАР), коріння другої серії є двократно виродженими і визначаються з рівняння. Ці корені відповідають спектру власних частот ІАР. При кінцевому значенні параметра | M | (зазвичай ~ 100 - 200) виродження знімається, і частоти розщеплюються. При цьому більш коректно розглядати єдиний об'єкт Імар, і визначати його власні частоти, вирішуючи рівняння (12) чисельно.
Наступне наближення рішення нелінійного рівняння Рікатті (6) у тих характерних областях можна побудувати, формально розлога це рішення по параметру, ? запроваджуваному відповідно до формули
? (h)=
Тоді збираючи члени однаковими ступенями ?, з точністю до поправок першого наближення маємо:
Тут
Очевидно (13) збігається з (7), а рішення (14) може бути знайдено за формулою:
Рішення проходить через точку ( h 0 , U 1 ( h 0 )). У трьох характерних областях для поправок першого наближення отримаємо:
Тут п =0, 1; h 2 =2h 0 + h 1 , h 4 =h 2 / 2 . Зажадавши безперервності модифікованого імпедансу на кордонах сферичних шарів, отримаємо дисперсійне рівняння (два рівняння) для визначення власних частот Імар. Ці рівняння, при переході від інтегрування по h до інтегрування по ? , мають вигляд:
ДОСЛІДЖЕННЯ РІШЕНЬ дисперсійного рівняння
Комплексне трансцендентне дисперсійне рівняння (21) вирішувалося методом Ньютона для характерних параметрів задачі відповідних умовам нічний іоносфери. Ці параметри обрані нами наступним чином c A1=5160 км / с, M =144 (1 + i? In /?) , де
